И. Богданов


Задача №1.  Окружности $\omega$ и $\Omega$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Пусть $M$ — середина дуги $AB$ окружности $\omega$ ($M$ лежит внутри $\Omega$). Хорда $MP$ окружности $\omega$ пересекает $\Omega$ в точке $Q$ ($Q$ лежит внутри $\omega$). Пусть $\ell_P$ — касательная к окружности $\omega$ в точке $P$, а $\ell_Q$ — касательная к окружности $\Omega$ в точке $Q$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного при пересечении прямых $\ell_P$, $\ell_Q$ и $AB$, касается $\Omega$. ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. На бесконечной ленте выписаны в ряд числа. Первой идёт единица, а каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением к нему наименьшей ненулевой цифры его десятичной записи. Сколько знаков в десятичной записи числа, стоящего в этом ряду на $9 \cdot 1000^{1000}$-ом месте? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  На гипотенузе $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ так, что $AB = AK$. Отрезок $AK$ пересекает биссектрису $CL$ в ее середине. Найдите острые углы треугольника $ABC$. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4.  По окружности записали красным пять несократимых дробей с нечетными знаменателями, большими $10^{10}$. Между каждыми двумя соседними красными дробями вписали синим несократимую запись их суммы. Могло ли случиться, что у синих дробей все знаменатели меньше 100? ( И. Богданов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №5.  Существуют ли два многоугольника (не обязательно выпуклых), обладающих следующим свойством: прикладывая их друг к другу (без наложения), можно получить многоугольники с любым числом сторон от 3 до 100 включительно? ( И. Богданов, С. Волчёнков, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6.  На пути в музей группа детсадовцев построилась парами, причём количество пар из двух мальчиков было в три раза больше количества пар из двух девочек. На обратном пути та же группа построилась так, что количество пар из двух мальчиков было в четыре раза больше количества пар из двух девочек. Докажите, что эту же группу можно построить так, чтобы количество пар из двух мальчиков было в семь раз больше количества пар из двух девочек. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №7.  На сотом году правления Казначей Бессмертный решил начать выпускать новые монеты. В этом году он выпустил в обращение неограниченный запас монет достоинством $2^{100} -1$, на следующий год — достоинством $2^{101} -1$, и т.д. Как только достоинство очередной новой монеты можно будет без сдачи набрать выпущенными ранее новыми монетами, Казначея сместят. На каком году его правления это случится? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №8.  Петя и Вася одновременно ввели в свои калькуляторы одно и то же не равное 0 целое число. После этого каждую минуту Петя либо прибавлял к своему числу 10, либо умножал его на 2014; одновременно Вася в первом случае вычитал из своего числа 10, а во втором — делил его на 2014. Могло ли оказаться, что через некоторое время числа у Пети и Васи снова стали равными? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №9.  Диагональ выпуклого 101-угольника будем называть главной, если по одну сторону от неё лежит 50, а по другую — 49 вершин. Выбрано несколько главных диагоналей, не имеющих общих концов. Докажите, что сумма длин этих диагоналей меньше суммы длин остальных главных диагоналей. ( И. Богданов, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №10.  На каждой стороне квадрата выбрано по 100 точек, из каждой выбранной точки внутрь квадрата проведён отрезок, перпендикулярный соответствующей стороне квадрата. Оказалось, что никакие два из проведённых отрезков не лежат на одной прямой. Отметим все точки пересечения этих отрезков. При каком наибольшем $k < 200$ может случиться так, что на каждом проведённом отрезке лежит ровно $k$ отмеченных точек? ( И. Богданов, Н. Авилов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №11.  В стране Эйлерии 101 город. Каждые два города соединены двусторонним беспосадочным рейсом одной из 99 авиакомпаний. Известно, что из каждого города выходят рейсы всех 99 компаний. Назовём $\textit{треугольником}$ три города, попарно соединённых рейсами одной и той же компании. Докажите, что в Эйлерии не больше одного треугольника. ( И. Богданов, Д. Карпов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №12.  На бесконечном белом клетчатом листе выделен квадрат $Q$ размера $12\times 12$. Петя хочет окрасить некоторые (не обязательно все!) клетки квадрата семью цветами радуги (каждую клетку --- только одним цветом) так, чтобы никакие два из 288 трёхклеточных прямоугольников, центры которых лежат в $Q$, не были раскрашены одинаково. Удастся ли ему это сделать?
(Два трёхклеточных прямоугольника раскрашены одинаково, если один из них можно сдвинуть и, возможно, повернуть так, чтобы каждая его клетка наложилась на клетку второго прямоугольника, имеющую тот же цвет.) ( И. Богданов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №13.  Между городами страны организованы двусторонние беспосадочные авиарейсы таким образом, что от каждого города до каждого другого можно добраться (возможно, с пересадками). Более того, для каждого города $A$ существует город $B$ такой, что любой из остальных городов соединён напрямую с $A$ или с $B$. Докажите, что от любого города можно добраться до любого другого не более, чем с двумя пересадками. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №14.  На доске написано 100 натуральных чисел, среди которых ровно 33 нечетных. Каждую минуту на доску дописывается сумма всех попарных произведений всех чисел, уже находящихся на ней (например, если на доске были записаны числа 1, 2, 3, 3, то следующим ходом было дописано число $1\cdot 2+1\cdot 3+1\cdot 3+2\cdot 3+2\cdot 3+3\cdot 3$). Можно ли утверждать, что рано или поздно на доске появится число, делящееся на $2^{10000000}$? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №15.  Найдите наибольшее вещественное $k$, для которого существуют множество $X$ и его подмножества $Y_1$, $Y_2$, $\dots$, $Y_{31}$, удовлетворяющие следующим двум условиям:
(1) для любых двух элементов $X$ найдется подмножество $Y_i$, не содержащее ни одного из них;
(2) при любом сопоставлении подмножествам $Y_i$ неотрицательных чисел $\alpha_i$ с суммой, равной 1, найдется такой элемент из $X$, что сумма $\alpha_i$, сопоставленных всем содержащим его подмножествам $Y_i$, не меньше $k$. ( И. Богданов, Г. Челноков )
комментарий/решение олимпиада
Задача №16.  В Тридесятом царстве из каждого города выходит по 30 дорог, причём каждая дорога соединяет два города, не проходя через другие города. Тридесятый царь захотел разместить в некоторых городах по дорожно-эксплуатационному управлению (ДЭУ), обслуживающему все выходящие из города дороги, так, чтобы каждая дорога обслуживалась хотя бы одним управлением и управления были размещены не более чем в половине городов. Может ли так оказаться, что у царя существует ровно 2018 способов сделать это? ( И. Богданов, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №17.  Найдите наименьшее натуральное $k$ такое, что для некоторого натурального числа $a$, большего $500 \,000,$ и некоторого натурального числа $b$ выполнено равенство $\frac{1}{a}+\frac{1}{a+k}=\frac{1}{b}.$ ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №18.  Дано натуральное число $k$. В городе несколько детей, они ходят в несколько кружков. Известно, что в каждый кружок ходит не более $3k$ детей, любой ребёнок ходит ровно в три кружка, и для любых двух детей есть кружок, в которой оба они ходят. Какое наибольшее количество детей может быть в городе? ( И. Богданов, Г. Челноков )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №19.  Дано натуральное число $n\geqslant 2$. У Элвина есть таблица $n\times n$, заполненная вещественными числами (в каждой клетке записано ровно одно число). Назовём ладейным множеством множество из $n$ клеток, расположенных как в $n$ различных столбцах, так и в $n$ различных строках. Предположим, что сумма чисел в клетках любого ладейного множества неотрицательна.
   За ход Элвин выбирает строку, столбец, а также вещественное число $a$; к каждому числу в выбранной строке он прибавляет $a$, а из каждого числа в выбранном столбце — вычитает $a$ (таким образом, число в пересечении строки и столбца не изменяется). Докажите, что Элвин может, сделав несколько ходов, добиться, чтобы все числа в таблице стали неотрицательными. ( И. Богданов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №20.  На вечеринку пришли 99 гостей. Двое ведущих вечеринки, Анна и Боб, играют в следующую игру (ведущие не входят в число гостей). По кругу расставлены 99 стульев; изначально все гости ходят вокруг стульев. Ведущие делают ходы по очереди. За ход ведущий выбирает стоящего гостя и указывает ему свободный стул $c$, на который тот должен сесть; если хотя бы один стул, соседний с $c$, занят, то тот же ведущий велит одному гостю на стуле, соседнем с $c$, встать (если оба стула, соседних с $c$, заняты, ведущий выбирает один из них). Все указания исполняются немедленно. Анна ходит первой; её цель — добиться, чтобы после какого-то её хода хотя бы $k$ стульев были заняты. При каком наибольшем $k$ Анна может добиться цели, как бы ни действовал Боб? ( И. Богданов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №21.  Положительные числа $a,$ $b,$ $c,$ $d$ таковы, что $(a+b+2c)^2 > d,$ $(b+c+2d)^2 > a,$ $(c+d+2a)^2 > b,$ $(d+a+2b)^2 > c.$ Докажите, что $a+b+c+d > 1/4.$ ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №22.  Дан треугольник $ABC$, в котором $2\angle B - \angle A = 180^\circ$. Внутри него выбрана точка $K$, а на его стороне $AB$ — точка $L \ne B$ так, что $\angle ACK = 2\angle BCK$ и $BK = KL$. Докажите, что $CK+AL = AC$. ( И. Богданов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №23.  В языке племени УЫ всего две буквы: «У» и «Ы». Словом считается любая последовательность из $2n$ букв У и $2n$ букв Ы (число $n$ дано и фиксировано). Языковеды называют слова похожими, если одно можно получить из другого одной перестановкой двух соседних букв У и Ы. Какое наибольшее количество слов можно выписать на доску так, чтобы любые два из выписанных слов не были похожи? В записи ответа допустимы только четыре арифметические операции, возведение в степень, взятие факториала и стандартных комбинаторных величин, там не должно содержаться многоточий и число использованных операций не должно зависеть от $n$. ( И. Богданов, Д. Белов )
комментарий/решение олимпиада