А. Кузнецов


Задача №1.  Диагонали $AC$ и $BD$ вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$ под прямым углом. Точка $Q$ на отрезке $PC$ выбрана так, что $AP=QC$. Докажите, что периметр треугольника $BQD$ не меньше чем $2AC$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №2. В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$. На основании $BC$ выбрана точка $D$, а на боковой стороне $AB$ — точка $E$ так, что $AE={1\over 2}AL=CD$. Докажите, что $LE = LD$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №3. Диагонали $AC$ и $BD$ вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$ под прямым углом. Точка $Q$ на отрезке $PC$ выбрана так, что $AP=QC$. Докажите, что периметр треугольника $BQD$ не меньше чем $2AC$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4.  На продолжении стороны $AD$ прямоугольника $ABCD$ за точку $D$ выбрана точка $E$. Луч $EC$ вторично пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $ABE$, в точке $F$. Лучи $DC$ и $AF$ пересекаются в точке $P$. На прямую $\ell$, проходящую через точку $E$ параллельно прямой $AF$, опущен перпендикуляр $CH$. Докажите, что прямая $PH$ касается окружности $\omega$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5.  Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Известно, что $AB = BC = CD = DE = 1$. Докажите, что $AD < 2$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6.  В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $A$ и $C$ равны $100^\circ$. На сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $AX = CY$. Оказалось, что прямая $YD$ параллельна биссектрисе угла $ABC$. Найдите угол $AXY$. ( С. Берлов, А. Кузнецов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №7.  На боковых сторонах $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $PQ \parallel BC$. На биссектрисах треугольников $ABC$ и $APQ$, исходящих из вершин $B$ и $Q$, выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $XY \parallel BC$. Докажите, что $PX = CY$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №8.  Точки $M$ и $N$ — середины биссектрис $AK$ и $CL$ треугольника $ABC$ соответственно. Докажите, что угол $ABC$ прямой тогда и только тогда, когда $\angle MBN = 45^\circ$. ( А. Кузнецов, Методическая комиссия Эйлера )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №9.  Дан равносторонний треугольник $ABC$. Точка $D$ выбрана на продолжении стороны $AB$ за точку $A$, точка $E$ — на продолжении $BC$ за точку $C$, а точка $F$ — на продолжении $AC$ за точку $C$ так, что $CF = AD$ и $AC+EF = DE$. Найдите угол $BDE$. ( А. Кузнецов, Методическая комиссия Эйлера )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №10.  Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $E$ так, что $AE = DE$ и $\angle ABE = 90^\circ.$ Точка $M$ --- середина отрезка $BC.$ Найдите угол $DME.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №11.  Вершина $F$ параллелограмма $ACEF$ лежит на стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$. Известно, что $AC = AD$ и $AE = 2CD$. Докажите, что $\angle CDE = \angle BEF.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №12.  Четырехугольник $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны, вписан в окружность с центром в точке $O$. Касательные к этой окружности в точках $A$ и $C$ вместе с прямой $BD$ образуют треугольник $\Delta$. Докажите, что описанные окружности треугольников $BOD$ и $\Delta$ касаются. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №13.  Четырехугольник $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны, вписан в окружность с центром в точке $O$. Касательные к этой окружности в точках $A$ и $C$ вместе с прямой $BD$ образуют треугольник $\Delta$. Около треугольника $OAC$ описана окружность $\omega$. Докажите, что описанные окружности треугольников $BOD$ и $\Delta$ касаются и их точка касания лежит на окружности $\omega$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №14.  В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна диагонали $BD.$ Точка $M$ — середина диагонали $AC$. Прямая $BM$ пересекает отрезок $CD$ в точке $E.$ Докажите, что $BE = CE.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №15.  Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно треугольника $ABC.$ На продолжении отрезка $CM$ за точку $M$ отмечена точка $D.$ Оказалось, что $BC = BD = 2$ и $AN = 3.$ Докажите, что $\angle ADC = 90^\circ.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №16.  Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Точки $B'$ и $C'$ симметричны точкам $B$ и $C$ относительно прямых $CD$ и $AB$ соответственно. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников $ABC'$ и $B'CD$, равноудалена от точек $A$ и $D$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №17.  В треугольнике $ABC$ угол при вершине $B$ тупой, $AB\ne BC$. Точка $O$ — центр описанной окружности $\omega$ этого треугольника, $N$ — середина дуги $ABC$. Окружность, описанная около треугольника $BON$, пересекает отрезок $AC$ в точках $X$ и $Y$. Лучи $BX$ и $BY$ вторично пересекают окружность $\omega$ в точках $Z$ и $T$. Докажите, что точка, симметричная точке $N$ относительно прямой $AC$, лежит на прямой $ZT$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №18.  Треугольник $ABC$, в котором $AB < AC$, вписан в окружность $\omega$. Окружности $\gamma_1$ и $\gamma_2$ касаются прямых $AB$ и $AC$, а их центры лежат на окружности $\omega$. Докажите, что точка $C$ лежит на общей внешней касательной к окружностям $\gamma_1$ и $\gamma_2$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №19.  Саша, Андрей и Оля выбрали по натуральному числу. Каждый из них умножил числа, выбранные двумя другими ребятами, на свое число и вычел меньшее произведение из большего. У Саши получилось 1, а у Андрея 121. Сколько могло получиться у Оли? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №20.  Периметр треугольника $ABC$ равен 2. На стороне $AC$ отмечена точка $P,$ а на отрезке $CP$ — точка $Q$ так, что $2AP = AB$ и $2QC = BC.$ Докажите, что периметр треугольника $BPQ$ больше 1. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №21.  Точка $N$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC,$ в котором $\angle ACB = 60^\circ$. Точка $M$ на стороне $AC$ такова, что $AM = BN.$ Точка $K$ — середина отрезка $BM.$ Докажите, что $AK = KC.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №22.  На средней линии равностороннего треугольника $ABC,$ параллельной стороне $BC,$ взята точка $D.$ Точка $E$ на продолжении стороны $BA$ за точку $A$ такова, что $\angle ECA = \angle DCA.$ Точка $F$ на продолжении стороны $CA$ за точку $A$ такова, что $\angle FBA = \angle DBA.$ Докажите, что точка $A$ лежит на средней линии треугольника $DEF,$ параллельной стороне $EF.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №23.  Сначала Саша прямолинейными разрезами, каждый из которых соединяет две точки на сторонах квадрата, делит квадрат со стороной 2 на 2020 частей. Затем Дима вырезает из каждой части по кругу. Докажите, что Дима всегда может добиться того, чтобы сумма радиусов этих кругов была не меньше 1. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №24.  Дано натуральное число $n$. Множество $A$, составленное из натуральных чисел, таково, что для любого натурального числа $m$, не превосходящего $n$, во множестве $A$ есть число, делящееся на $m$. Какое наименьшее значение может принимать сумма всех элементов множества $A$? ( А. Кузнецов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №25.  Точка $M$ — середина основания $AD$ трапеции $ABCD$. На отрезке $BM$ отмечена точка $E$. Оказалось, что $\angle ADB = \angle MAE = \angle BMC$. Докажите, что треугольник $BCE$ — равнобедренный. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №26.  Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает диагональ $AC$ в точке $E,$ а внешняя биссектриса угла $B$ пересекает прямую $AD$ в точке $F.$ Точка $M$ — середина отрезка $BE.$ Докажите, что прямые $CM$ и $EF$ параллельны. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение олимпиада