А. Кузнецов


Задача №1.  Диагонали $AC$ и $BD$ вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$ под прямым углом. Точка $Q$ на отрезке $PC$ выбрана так, что $AP=QC$. Докажите, что периметр треугольника $BQD$ не меньше чем $2AC$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №2. В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$. На основании $BC$ выбрана точка $D$, а на боковой стороне $AB$ — точка $E$ так, что $AE={1\over 2}AL=CD$. Докажите, что $LE = LD$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №3. Диагонали $AC$ и $BD$ вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$ под прямым углом. Точка $Q$ на отрезке $PC$ выбрана так, что $AP=QC$. Докажите, что периметр треугольника $BQD$ не меньше чем $2AC$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4.  На продолжении стороны $AD$ прямоугольника $ABCD$ за точку $D$ выбрана точка $E$. Луч $EC$ вторично пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $ABE$, в точке $F$. Лучи $DC$ и $AF$ пересекаются в точке $P$. На прямую $\ell$, проходящую через точку $E$ параллельно прямой $AF$, опущен перпендикуляр $CH$. Докажите, что прямая $PH$ касается окружности $\omega$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №5.  Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Известно, что $AB = BC = CD = DE = 1$. Докажите, что $AD < 2$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №6.  В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $A$ и $C$ равны $100^\circ$. На сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $AX = CY$. Оказалось, что прямая $YD$ параллельна биссектрисе угла $ABC$. Найдите угол $AXY$. ( С. Берлов, А. Кузнецов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №7.  На боковых сторонах $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $PQ \parallel BC$. На биссектрисах треугольников $ABC$ и $APQ$, исходящих из вершин $B$ и $Q$, выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $XY \parallel BC$. Докажите, что $PX = CY$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №8.  Точки $M$ и $N$ — середины биссектрис $AK$ и $CL$ треугольника $ABC$ соответственно. Докажите, что угол $ABC$ прямой тогда и только тогда, когда $\angle MBN = 45^\circ$. ( А. Кузнецов, Методическая комиссия Эйлера )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №9.  Дан равносторонний треугольник $ABC$. Точка $D$ выбрана на продолжении стороны $AB$ за точку $A$, точка $E$ — на продолжении $BC$ за точку $C$, а точка $F$ — на продолжении $AC$ за точку $C$ так, что $CF = AD$ и $AC+EF = DE$. Найдите угол $BDE$. ( А. Кузнецов, Методическая комиссия Эйлера )
комментарий/решение(1) олимпиада