қазақша
русскийА. Акопян
Есеп №1. $\angle BAK=\angle CAL=90{}^\circ $ болатындай, $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасында $K$ және $L$ нүктелері табылды. $A$ төбесінен түсірілген биіктіктің ортасы, $KL$ кесіндісінің ортасы және $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі бір түзудің бойында жатанынын дәлелдеңіз. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №2. $\angle BAK=\angle CAL=90{}^\circ $ болатындай, $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасында $K$ және $L$ нүктелері табылды. $A$ төбесінен түсірілген биіктіктің ортасы, $KL$ кесіндісінің ортасы және $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. Табандары $AD$ және $BC$ болатын, теңбүйірлі $ABCD$ трапециясы берілсін. Оның $AC$ және $BD$ диагоналдары $M$ нүктесінде қиылысады. $AX=AM$, $BY=BM$ болатындай, $AB$ кесіндісінде $X$ және $Y$ нүктелері табылды. $Z$ нүктесі $XY$ кесіндісінің ортасы, ал $XD$ және $YC$ кесінділерінің қиылысуы $N$ нүктесі арқылы белгіленсін. $ZN$ түзуі трапецияның табандарына параллель екенін дәлелдеңіз. ( А. Акопян, А. Мякишев )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №4. Герцог Квадраттық өзінің үш баласына, қабырғасы 1 км болатын 10000 квадраттарға бөлінген квадраттық $100\times 100$ км жер телімін мұра ретінде қалдырды. Мүлікті бөлу үшін герцог балаларына жер телімдерінен бір нүктеден көрсетті және оларға, центрлерден осы нүктелерге дейінгі арақашықтық, оның ағаларының нүктелеріне дейінгі арақашықтықтан кіші болатындай жер телімін бөліп берді. Нәтижесінде жер телімі ағайындылар арасында бөлінді. Нүктелердің таңдалуына байланыссыз, әрбір ағайындының бөлігі байланысқан болуы мүмкін бе (яғни, бір бөліктің кез келген екі нүктесінің арасында, бөліктен шықпайтын байланыс бар)? ( А. Акопян )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №5. Іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышының $A$ және $B$ төбелері арқылы өтетін шеңбер, оның $AC$ және $BD$ диагоналдарын сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $AF$ және $BC$ түзулері $P$ нүктесінде, ал $BE$ және $AD$ түзулері $Q$ нүктесінде қиылысады. $PQ$ кесіндісі $CD$ кесіндісіне параллель екенін дәлелдеңіз. ( А. Акопян )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №6. Қарама-қарсы орналасқан қабырғалары тең, дөңес $AC'BA'CB'$ алтыбұрышы берілсін. $AA'$ кесіндісінің орта перпендикуляры мен $BC$ кесіндісі ${{A}_{1}}$ нүктесінде қиылысады. ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелері осыған ұқсас жолмен анықталады. ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ бір түзу бойында жататынын дәлелдеңіз. ( А. Акопян )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №7. ${{\omega }_{1}}$ және ${{\omega }_{2}}$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $M$ нүктесі $AB$ кесіндісінің ортасы. $AB$ түзуі бойында ${{S}_{1}}$ және ${{S}_{2}}$ нүктелері алынды. ${{S}_{1}}$ нүктесінен жүргізілген жанамалар ${{\omega }_{1}}$ шеңберімен ${{X}_{1}}$ және ${{Y}_{1}}$ нүктелерінде жанасады, ал ${{S}_{2}}$ нүктесінен жүргізілген жанамалар ${{\omega }_{2}}$ шеңберімен ${{X}_{2}}$ және ${{Y}_{2}}$ нүктелерінде жанасады. Егер ${{X}_{1}}{{X}_{2}}$ түзуі $M$ арқылы өтсе, ${{Y}_{1}}{{Y}_{2}}$ түзуі де $M$ арқылы өтетінін дәлелдеңіз. ( А. Акопян )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №8. $ABC$ үшбұрышы берілсін. ${{B}_{1}}$ бұрышы $B$ төбесіне $AC$ түзуіне қатысты симметриялы, ал $C_1$ нүктесі $C$ нүктесіне $AB$ түзуіне қатысты симметриялы. $O_1$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центріне, $BC$ түзуіне қатысты симметриялы. $AB_1C_1$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі $AO_1$ түзуінде жататынын дәлелдеңіз. ( А. Акопян )
комментарий/решение олимпиада