қазақша
русскийNavid Safaei
Задача №1. Найдите все функции $f:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ такие, что для любого действительного числа $x$ выполнены равенства $$f\left(x+1\right)=1+f(x) \quad \text{и} \quad f\left(x^4-x^2\right)=f(x)^4-f(x)^2.$$ ($\mathbb{R}$ — множество действительных чисел.) ( Navid Safaei )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. Многочлен $Q(x) = k_n x^n + k_{n-1} x^{n-1} + \ldots + k_1 x + k_0$ с действительными коэффициентами назовём мощным, если выполнено равенство $|k_0| = |k_1| + |k_2| + \ldots + |k_{n-1}| + |k_n|$, и невозрастающим, если $k_0 \geq k_1 \geq \ldots \geq k_{n-1} \geq k_n$.
Пусть для многочлена $P(x) = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ с ненулевыми действительными коэффициентами, где $a_d > 0$, многочлен $P(x)(x-1)^t(x+1)^s$ является мощным для некоторых неотрицательных целых $s$ и $t$ ($s + t > 0$). Докажите, что хотя бы один из многочленов $P(x)$ и $(-1)^d P(-x)$ является невозрастающим. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3. Натуральное число $d$ не является точным квадратом. Для каждого натурального числа $n$ обозначим через $s(n)$ количество единиц среди первых $n$ цифр двоичной записи числа $\sqrt d$ (цифры до запятой тоже учитываются). Докажите, что существует такое натуральное $A$, что при всех натуральных $n\geqslant A$ выполнено неравенство $s(n)>\sqrt{2n}-2$. ( Navid Safaei )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №4. Пусть $\mathcal{M} = \mathbb{Q}[x, y, z]$ — множество многочленов с рациональными коэффициентами от трех переменных. Докажите, что для любого ненулевого многочлена $P \in \mathcal{M}$ существуют такие ненулевые многочлены $Q, R \in \mathcal{M}$, что $$ R(x^2 y, y^2 z, z^2 x) = P(x, y, z) Q(x, y, z) . $$ ( Navid Safaei )
комментарий/решение(4) олимпиада