М. Антипов


Задача №1.  В клетках доски $8 \times 8$ расставлены числа $1$ и $-1$ (в каждой клетке — по одному числу). Рассмотрим всевозможные расположения четырёхклеточной фигурки на доске (фигурку можно поворачивать, но её клетки не должны выходить за пределы доски). Назовём такое расположение неудачным, если сумма чисел, стоящих в четырёх клетках фигурки, не равна 0. Найдите наименьшее возможное число неудачных расположений. ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  На клетчатой доске размером $2014 \times 2014$ закрашено несколько (не меньше одной) клеток так, что в каждом квадратике размером $3 \times 3$ клетки закрашено чётное число клеток. Каково наименьшее возможное число закрашенных клеток? ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  На доске записаны 2010 натуральных чисел. Разрешается стереть любую пару чисел $x$, $y$ (в которой $y > 1$) и записать вместо них либо пару чисел $2x+1$, $y-1$, либо пару $2x+1$, ${1\over 4}(y-1)$ (если $y-1$ делится на 4). Например, стерев числа 3 и 5, можно написать пару 7 и 4, либо пару 7, 1 (приняв $x=3$, $y=5$), либо пару 11, 2 (приняв $x=5$, $y=3$). Такие операции провели несколько раз, причем при первой операции были стерты числа 2006 и 2008. Докажите, что на доске не сможет появиться вновь первоначальный набор чисел. ( М. Антипов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4.  На доске написаны числа 1, 2, $\ldots,$ 1000. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и записать вместо них числа $ab$ и $a^2+b^2.$ Можно ли такими операциями добиться, чтобы среди чисел, написанных на доске, было хотя бы 700 одинаковых? ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5.  Калькулятор умеет возводить число в квадрат, а также умеет прибавлять 1, но при этом прибавлять 1 два раза подряд нельзя. За несколько таких операций он получил из числа $x$ число $S$, причем $S > x^n+1$ ($x,n, S$ — натуральные). Докажите, что $S\geq x^n+x-1$. ( М. Антипов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №6.  На доске $n \times n$ $(n > 1)$ отмечено $k$ клеток. Требуется переставить строки и столбцы так, чтобы все отмеченные клетки оказались не ниже главной диагонали. При каком наибольшем $k$ это гарантированно возможно? ( М. Антипов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №7.  На доске $100 \times 100$ отмечено 110 клеток. Верно ли, что можно так переставить строки и столбцы, чтобы все клетки отмеченные оказались не ниже главной диагонали? ( М. Антипов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №8.  Есть куча из $2021^{2021}$ камней. За один ход можно разбить любую кучу на две части, количества камней в которых отличаются на степень двойки с целым неотрицательным показателем. После нескольких ходов оказалось, что количество камней в каждой кучке — степень двойки с целым неотрицательным показателем. Докажите, что было сделано четное число ходов. ( М. Антипов )
комментарий/решение олимпиада