М. Антипов


Есеп №1. $8\times 8$ тақтасының шаршыларына 1 мен ${-1}$ сандары қойылған (әр шаршыда бір ғана саннан). Тақтадағы төрт шаршылы фигурасының барлық мүмкін орналасуын қарастырайық (фигурканы бұруға болады, бірақ оның шаршылары тақтадан тыс шықпау керек). Орналасқан фигураның төрт шаршысындағы сандар қосындысы нөлге тең болмаса, ондай орналасуды сәтсіз деп атайық. Мүмкін болатын ең аз сәтсіз орналасу санын табыңыз. ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. Өлшемі $2014 \times 2014$ болатын шаршылы тақтада, өлшемі $3 \times 3$ болатын әр квадратта боялған шаршы саны жұп болатындай, бірнеше (бірден кем емес) шаршы боялған. Боялған шаршылардың ең кіші мүмкін саны қандай? ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. Тақтаға барлығы 2010 натурал сан жазылды. Кез келген $x$ және $y$ ($y > 1$) сандарын өшіріп, олардың орнына $2x+1$, $y-1$ немесе $2x+1$, $\dfrac{1}{4}(y-1)$ (егер $y-1$, 4-ке бөлінсе) сандарын жазуға болады. Мысалы, 3 және 5 сандарын өшіріп, олардың орнына 7 және 4 сандарын немесе 7, 1 ($x=3$, $y=5$ деп алып), немесе 11, 2 жұбын ($x=5$, $y=3$ деп алып) сандарын жазуға болады. Осындай амалдар бірнеше рет жасалды және ең алғашында 2006 және 2008 сандары өшірілді. Тақтада алғашқы сандар жинағы пайда болуы мүмкін емес екенін дәлелдеңіз. ( М. Антипов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №4. Тақтада 1, 2, $\ldots,$ 1000 сандары жазылған. Кез келген $a$ және $b$ екі сандарын өшіріп, олардың орнына $ab$ және $ a^2 + b^2$ сандарын жазуға болады. Осындай оперцияны қолдану арқылы, тақтада жазылған сандардың кемінде 700-ін бірдей қылуға болады ма? ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №5.  Калькулятор умеет возводить число в квадрат, а также умеет прибавлять 1, но при этом прибавлять 1 два раза подряд нельзя. За несколько таких операций он получил из числа $x$ число $S$, причем $S > x^n+1$ ($x,n, S$ — натуральные). Докажите, что $S\geq x^n+x-1$. ( М. Антипов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №6.  На доске $n \times n$ $(n > 1)$ отмечено $k$ клеток. Требуется переставить строки и столбцы так, чтобы все отмеченные клетки оказались не ниже главной диагонали. При каком наибольшем $k$ это гарантированно возможно? ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №7.  На доске $100 \times 100$ отмечено 110 клеток. Верно ли, что можно так переставить строки и столбцы, чтобы все клетки отмеченные оказались не ниже главной диагонали? ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №8.  Есть куча из $2021^{2021}$ камней. За один ход можно разбить любую кучу на две части, количества камней в которых отличаются на степень двойки с целым неотрицательным показателем. После нескольких ходов оказалось, что количество камней в каждой кучке — степень двойки с целым неотрицательным показателем. Докажите, что было сделано четное число ходов. ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №9.  В кружке 42 человека, любые двое из которых имеют среди кружковцев не менее десяти общих друзей. Докажите, что найдутся двое, имеющие среди кружковцев не менее двенадцати общих друзей. ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №10. Бір елде 100 қала бар және әрбір екі қала бір-бірінен ең көп дегенде бір жолмен байланысқан. Бір күні патша әр жолда бір бағытты қозғалысты енгізуді, сонымен бірге әр жолды ақ немесе қара түске бояуды бұйырды. Көлік министрі бұйрықты орындағаннан кейін, жолдың түстерін кезектесе отырып (бірінші жол ақ түсті болатындай), кез келген қаладан басқа қалаға жете алуға болатынын мақтанышпен мәлімдеді. Бұл елде ең аз дегенде неше жол болуы мүмкін? Бір қаладан екінші қалаға жету барысында аралық қалалардан бірнеше рет өтуге рұқсат. ( М. Антипов )
комментарий/решение(8) олимпиада