қазақша
русскийШынтас Н.
Есеп №1. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы $\Omega$ шеңберіне іштей сызылған. Осы үшбұрыштың $AD, BE$ және $CF$ биіктіктері жүргізілген. $AD$ түзуі $\Omega$--ны екінші рет $P$ нүктесінде, ал $PF$ және $PE$ түзулері $\Omega$--ны екінші рет сәйкесінше $R$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $O_1$ және $O_2$ нүктелері сәйкесінше $BFR$ және $CEQ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері болсын. $O_1O_2$ түзуі $EF$ кесіндісінің ортасынан өтетінін дәлелдеңіз. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. Число назовем «нефакториальным», если оно не представимо в виде конечной суммы различных факториалов целых неотрицательных чисел. Докажите, что существует бесконечно много нефакториальных натуральных чисел. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №3. Существуют ли две ограниченные последовательности $a_1, a_2, \ldots$ и $b_1, b_2, \ldots$ такие, что для любых натуральных $m>n$ выполнено хотя бы одно из двух условий $$|a_m-a_n|>{1\over\sqrt{n}} \quad \text{или} \quad |b_m-b_n|>{1\over\sqrt{n}}?$$ ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №4. Дан вписанный выпуклый четырехугольник $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $O$. $M$ и $N$ — середины сторон $AD$ и $BC$ соответственно. На дуге $AB$, не содержащей точек $C$ и $D$, описанной окружности $ABCD$ отметили точку $S$ такую, что $\angle SMA=\angle SNB$. Пусть $T$ — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника образованного прямыми $SM,$ $SN,$ $AB$ и $CD$. Докажите, что точки $S,$ $O,$ $T$ лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №5. В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоты $AD,$ $BE$ и $CF.$ $P$ и $Q$ лежат на отрезках $AB$ и $AC$ соответственно так, что прямая $PQ$ параллельна $BC$. Окружности построенные на $BQ$ и $CP$, как на диаметрах, пересекаются в точках $R$ и $T$ ($R$ является ближе к $A$ чем $T$). Пусть $CM$ и $BN$ — высоты в треугольнике $BCR$. Докажите, что прямые $FM,$ $NE$ и $AD$ пересекаются в одной точке. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №6. В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоты $AD,$ $BE$ и $CF.$ $P$ и $Q$ лежат на отрезках $AB$ и $AC$ соответственно так, что прямая $PQ$ параллельна $BC$. Окружности построенные на $BQ$ и $CP$, как на диаметрах, пересекаются в точках $R$ и $T$ ($R$ является ближе к $A$ чем $T$). Пусть $CM$ и $BN$ — высоты в треугольнике $BCR$. Докажите, что прямые $FM,$ $NE$ и $AD$ пересекаются в одной точке. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №7. Дан вписанный выпуклый четырехугольник $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $O$. $M$ и $N$ — середины сторон $AD$ и $BC$ соответственно. На дуге $AB$, не содержащей точек $C$ и $D$, описанной окружности $ABCD$ отметили точку $S$ такую, что $\angle SMA=\angle SNB$. Пусть $T$ — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника образованного прямыми $SM,$ $SN,$ $AB$ и $CD$. Докажите, что точки $S,$ $O,$ $T$ лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №8. Центрі $O$ болатын $\omega$ шеңберіне сүйірбұрышты $ABC$ ($AB\ne AC$) үшбұрышы іштей сызылған. $M$ нүктесі — $BC$ қабырғасының ортасы. $\omega$-ға $A$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу $BC$ қабырғасының созындысын $D$ нүктесінде қияды. Центрі $M$ ал радиусы $MA$ болатын шеңбер $AB$ және $AC$ қабырғаларының созындыларын, сәйкесінше, $K$ және $L$ және нүктелерінде қияды. $X$ нүктесі $BX\parallel KM$ және $CX\parallel LM$ болатындай нүкте. $X$, $D$, $O$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Есеп №9. Барлық бұрышы $45^\circ$-тан артық болатын $ABC$ ($AB\ne AC$) үшбұрышында $AD$ биіктігі жүргізілген. $\omega_1$ және $\omega_2$ — диаметрлері, сәйкесінше, $AC$ және $AB$ болатын шеңберлер. $ADB$ бұрышының биссектрисасы $\omega_1$-ді екінші рет $P$ нүктесінде, ал $ADC$ бұрышының биссектрисасы $\omega_2$-ні екінші рет $Q$ нүктесінде қияды. $AP$ түзуі $\omega_2$-ні екінші рет $R$ нүктесінде қисын. $PQR$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі $BC$ түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(2) олимпиада