қазақша
русскийА. Голованов
Есеп №1. $a+1/a$ саны $b+1/b$ мен $c+1/c$ сандарының қосындысының жартысына тең болатындай әр түрлі натурал $a$, $b$ және $c$ сандары табылады ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. Шеңбер бойымен 2015 оң сандар жазылған. Кез келген қатар келген екі санның қосындысы олардан кейін сағат бойымен тұрған екі сандарға кері сандардың қосындысынан үлкен. Берілген барлық 2015 санның көбейтіндісі 1-ден үлкен екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов, А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. Координаталары бүтін сан болатын жазықтықтағы әр нүкте ақ немесе көк түске боялған. Кез келген натурал $n$ саны үшін, ауданы $n$-ге тең және төбелері бір түсті нүкте болатындай түс таңдап алуға болатынын дәлелдеңіздер. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №4. Келесі шартты қанағаттандыратын натурал $n$ санының ең үлкен мәнін табыңыздар: кез келген $k \leq \dfrac{n}{2}$ үшін, айырымы $k$-ға тең болатын $n$ санының қандай да бір екі бөлгіштері бар. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №5. Кез келген $x$ және $y$ үшін, $P(x)+Q(y)=R(z)$ теңдігін қанағаттандыратын бүтін $z$ табылатындай, $P$, $Q$, $R$ квадрат үшмүше табылады ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №6. Ондық санау жүйесіндегі жазылуында тек бір разрядында айырмашылығы бар, екі сан әр түрлі түсті болатындай, барлық оң, нақты сандарды 10 түске бояуға болады ма? (Барлық цифраларында, кейбір 9-цифрінен басталатын, ондық санау жүйесінде жазылған сандар қарастырылмайды). ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №7. $ABCDEF$ алтыбұрышы жазықтығының әртүрлі жағында жатқан, $G$ және $H$ нүктелері осы алтыбұрыштың әрбір төбесімен байланысқан. Пайда болған 18 кесіндіге 1, 2, 3, $\ldots$, 18 сандарын, ал $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ нүктелеріне кейбір нақты сандарды, әрбір кесіндіде, төбелеріндегі сандардың айырмасына тең болатын сан жазылатындай орналастыруға болады ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №8. $c$ натурал саны берілсін. $\left\{ {{p}_{k}} \right\}$ тізбегі келесі ереже бойынша құрастырылады: ${{p}_{1}}$ кез-келген жай сан, ал ${{p}_{k+1}}$ саны, $k\ge 1$ үшін, ${{p}_{1,}}$ ${{p}_{2,}}$ $\ldots$, ${{p}_{k.}}$ сандары құрамында кездеспейтін ${{p}_{k}}+c$ санының кез-келген жай бөлгіші. $\left\{ {{p}_{k}} \right\}$ тізбегі шексіз бола алмайтынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №9. $f(3x-2)\le f(x)\le f(2x-1)$ теңсіздігі кез-келген $x$ үшін орындалатындай, барлық нақты сандар жиынында берілген және үзіліссіз болатын барлық $f(x)$ функцияларын табыңыз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №10. $\left( {{a}_{n}} \right)$ тізбегі, ${{a}_{1}}=0$ және ${{a}_{n+1}}=\dfrac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots+{{a}_{n}}}{n}+1$ шарттары бойынша берілсін. ${{a}_{2016}} > \dfrac{1}{2}+{{a}_{1000}}$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №11. Жай $p$ және $q$ сандарының қатынасы екіден артық емес. Біреуінің ең үлкен жай бөлгіші $p$, ал екіншісінің ең үлкен жай бөлгіші $q$ болатын, қатар келе жатқан екі натурал сан табылатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №12. Натурал 1,2,3, $\ldots$,100 сандары, $N$ геометриялық прогрессиялардың бірігуінде кездеседі (міндетті түрде бүтін еселіктермен емес). $N\ge 31$ екендігін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №13. Тақтаға бірнеше рационал сандар жазылған. Дима осы сандардың бөлшек бөліктерін жеке қағазға жазып алды. Тақтадағы барлық сандарды квадраттағаннан кейін, Дима осы сандардын бөлшек бөліктерін қайтадан басқа қағазға жазып алды. Диманың қағаздарында бірдей сандар жиыны жазылғандығы анықталды (сандар қатарында айырмашылық болуы мүмкін). Алғашқы тақтаға жазылған сандар, бүтін болғандығын дәлелдеңіз.(Санның бөлшек бөлігі — $\left\{ x \right\}$, $0\le \left\{ x \right\} < 1$ және $x-\left\{ x \right\}$ — бүтін бөлігі.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №14. Таня мен Сережаның алдында 2016 кәмпит жатыр. Таня мен Сережа кезекпен жүріс жасайды. Алдымен Таня бастайды. Балақай өзінің жүрісінде, бір кәмпит немесе егер жұп кәмпит жатса, оның тең жартысын жей алады. Жүрісі жоқ ойыншы жеңіледі. Әділ ойында кім ұтады? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №15. $f$ және $g$ функциялары $[-100;100]$ аралығындағы барлық бүтін сандарында анықталған және бүтін мәндерді қабылдайды. Қандай да бір бүтін $k$ үшін, $f\left( x \right)-g\left( y \right)=k$ теңдеуінің шешім саны тақ екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №16. Қабырғасы 20 болатын тең қабырғалы үшбұрыш параллель әртүрлі түзулер жиындарымен 400 тең қабырғалы, қабырғасы 1-ге тең үшбұрыштарға бөлінген. Осы кішкене үшбұрыштардың нешеуін ең көп дегенде бір түзумен қиюға болады (ішкі нүктелер арқылы)? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №17. $f$ және $g$ функциялары $[-100;100]$ аралығындағы барлық бүтін сандарында анықталған және бүтін мәндерді қабылдайды. Қандай да бір бүтін $k$ үшін, $f\left( x \right)-g\left( y \right)=k$ теңдеуінің шешім саны тақ екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №18. Графландия елінде 60 қала бар; әрбір екі қала бір бағытты жолмен байланысқан. Мынадай шартты қанағаттандыратын қызыл түске бояуға болатын төрт қала және жасыл түске бояуға болатын төрт қала табылатынын дәлелдеңіздер: қызыл қала мен жасыл қаланы байланыстыратын әрбір жол қызыл қаладан жасыл қалаға бағытталған. ( А. Голованов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №19. Егер бір бүтін $p$ үшін $\left| \alpha -\dfrac{p}{q} \right| < \dfrac{1}{10q}$ теңсіздігі орындалатын болса, біз $q$ натурал санын нақты $\alpha $ санына ыңғайлы бөлім болады дейміз. Егер екі иррационал $\alpha $ және $\beta $ сандарының ыңғайлы бөлімдер жиындары бірдей болса, онда $\alpha +\beta $ саны немесе $\alpha -\beta $ саны бүтін болатынын дәлелдеңдер. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №20. Бірлік шаршылардан құралған тор қағазда доминоларға (ортақ қабырғасы бар екі шаршыдан құралған тіктөртбұрыш фигура) бөліктелген тіктөртбұрыш берілген. Тіктөртбұрыштың шекарасында және ішінде жатқан шаршылардың төбесі болатын барлық төбелерді, арақашықтығы 1-ге тең болатын кез келген екі төбе үшін келесі шарт орындалатындай үш түске бояуға болатынын дәлелдеңіз: осы екі төбені қосатын кесінді доминолардың біреуінің шекарасында жатса, онда осы төбелер әртүрлі түске боялған, және кері жағдайда бірдей түске боялған. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №21. $(a_n)$ тізбегінің алғашқы $k$ мүшесі $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ — әртүрлі натурал сандар, ал $n > k$ болған жағдайда, $a_n$ саны $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{n-1}$ сандарының кейбіреулерінің (мүмкін тек біреуінің) қосындысы ретінде келтірілмейтін сандардың ішіндегі ең кіші натурал сан. Жеткілікті үлкен барлық $n$ сандары үшін $a_n=2a_{n-1}$ теңдігі орындалатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №22. Кез-келген натурал $m$ және $n$ үшін ${{a}_{m}}+{{a}_{n}}=P(mn)$ орындалатындай, ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{a}_{3}}$, $\ldots$ нақты сандар тізбегі және тұрақсыз $P(x)$ көпмүшесі табылады ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №23. Шексіз натурал $n$ сандарының жиыны үшін, кез келген нақты $\alpha > 0$ санында $\left[ \alpha {{n}^{2}} \right]$ саны жұп екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №24. $\sqrt{n}$, $\sqrt{n+1}$, $\sqrt{n+2}$, $\ldots$, $\sqrt{n+999}$ сандарының ондық санау жүйесінде, үтірден кейін 200 цифрлар арасында жүз рет 0, жүз рет бірлік, \ldots, жүз рет тоғыз кездесетіндей, натурал $n$ бар ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №25. Алқа 100 көк түсті және бірнеше қызыл түсті моншақтардан тұрады. 8 көк моншағы бар кез келген кесіндіде кем-дегенде 5 қызыл моншақ бар. Алқада кем-дегенде неше қызыл түсті моншақтар болуы мүмкін? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №26. Үш нақты сан берілсін. Кез келген екеуінің көбейтіндісінде, бөлшек бөлім $\dfrac{1}{2}$-ге тең. Осы сандар иррационал екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №27. Қатар орналасқан екі сан өзара жай болмайтындай, шеңбер бойына, ${{10}^{6}}$ санынан артық емес құрама сандарды орналастыруға болады ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №28. Тақтаға бірнеше иррационал сандар жазылды. Кез келген $a$ және $b$ сандары үшін, $\dfrac{a}{b+1}$ және $\dfrac{b}{a+1}$ сандарының кем дегенде біреуі рационал екені белгілі. Тақтада ең көп дегенде неше сан жазылуы мүмкін? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №29. 4 немесе 8 есе айырмашылығы бар екі сан, әртүрлі түске боялатындай, барлық оң нақты сандарды ең кем дегенде неше түске бояуға болады? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №30. $f(x)={{a}_{100}}{{x}^{100}}+{{a}_{99}}{{x}^{99}}+\ldots+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$ және $g(x)={{b}_{100}}{{x}^{100}}+{{b}_{99}}{{x}^{99}}+\ldots+{{b}_{1}}x+{{b}_{0}}$ жүзінші дәрежелі екі көпмүшелер коэффициенттерінің орналасу реті бойынша өзгеше. Барлық $i=0,1,2,\ldots,100$ үшін ${{a}_{i}}\ne {{b}_{i}}$ екені белгілі. Барлық нақты $x$ үшін $f\left( x \right)\ge g\left( x \right)$ болуы мүмкін бе? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №31. Натурал санды жай көбейткіштерге жіктегенде, әр жай санның дәрежелері реттелмеген түрде, дәрежелер жиынын құрасын. Мысалы, $180={{2}^{2}}\cdot {{2}^{2}}\cdot {{5}^{1}}$ және $882={{3}^{2}}\cdot {{2}^{1}}\cdot {{7}^{2}}$ сандарында бірдей дәрежелер жиыны 1, 2, 2. Әрбір $n$ үшін $({{a}_{n}})$ және $\left( {{b}_{n}} \right)$ сандарында бірдей дәрежелер жиыны болатындай, екі $\left( {{a}_{n}} \right)$ және $\left( {{b}_{n}} \right)$, өспелі арифметикалық прогрессиялары бар. Осы екі прогрессиялар пропорционал екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №32. Жазықтықта, ешқандай екі түзу параллель болмайтындай және ешқандай үш түзу бір нүктеде қиылыспайтындай 100 түзу жүргізілді және барлық қиылысу нүктелері белгіленді. Кейін, барлық түзулерді және $k$ белгіленген нүктелерін өшіріп тастады. $k$-ның қандай ең үлкен мәнінде қалған белгіленген нүктелер бойынша алғашқы түзулерді қайтадан салуға болады? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №33. Үстелде, натурал сан жазылған, барлығы жұп мөлшердегі карточкалар жатыр. $k$ саны жазылған карточкалар саны ${{a}_{k}}$ болсын. Әрбір натурал $n$ үшін, ${{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}+{{a}_{n-2}}-\ldots\ge 0$ екені анықталды. Екі карточканың сан айырмашылығы 1 болатындай, карточкаларды жұптарға бөлуге болатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №34. Қатар келе жатқан, төрт үш таңбалы сандар, сәйкесінше қатар келе жатқан төрт екі таңбалы сандарға қалдықпен бөлінеді.Ең кем дегенде қанша әртүрлі қалдық қалуы мүмкін? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №35. ${{p}^{2}}-pq-{{q}^{3}}=1$ теңдеуін жай сандар үшін шешіңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №36. $P$, $Q$, $R$, $S$ квадрат үшмүшелері болса, кез-келген төртінші дәрежелі үшмүшені $P\left( Q\left( x \right) \right)+R\left( S\left( x \right) \right)$ түрінде жазуға болатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №37. $xyz=1$ болатындай, $x$, $y$, $z$ оң сандары үшін келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңіз: $\dfrac{{{x}^{3}}}{{{z}^{2}}+y}+\dfrac{{{y}^{3}}}{{{y}^{2}}+z}+\dfrac{{{z}^{3}}}{{{z}^{2}}+x}\ge \dfrac{3}{2}$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №38. $ABCD$ төртбұрышы іштей және сырттай сызылған. Іштей сызылған шеңбер осы төртбұрыштың $AB$ және $CD$ қабырғаларымен $X$ және $Y$ нүктелерінде жанасады. $AB$ және $CD$ қабырғаларына, сәйкесінше $A$ және $D$ нүктелерінен жүргізілген перпендикуляр түзулер $U$ нүктесінде қиылысады, ал осы қабырғаларға $X$ және $Y$ нүктелерінен жүргізілген перпендикуляр түзулер $V$ нүктесінде қиылысады және $B$ және $C$ нүктелерінен түсірілген перпендикуляр түзулер $W$ нүктесінде қиылысады. $U$, $V$, $W$ бір түзуде жатқанынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №39. Натурал сандар үшін, келесі теңдікті шешіңіз: $\dfrac{1}{{{n}^{2}}}-\dfrac{3}{2{{n}^{3}}}=\dfrac{1}{{{m}^{2}}}$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №40. $p=4k+3$ жай сан, $\dfrac{1}{{{0}^{2}}+1}+\dfrac{1}{{{1}^{2}}+1}+\ldots+\dfrac{1}{{{(p-1)}^{2}}+1}=\dfrac{m}{n}$ болатындай, $\dfrac{m}{n}$ қысқартылмайтын бөлшек болсын. $2m-n$ саны, $p$ -ға бөлінетінін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №41. Таня мен Сережа кезектесіп, шахмат тақтасының бос торларына фишкаларды қояды. Бірінші болып Таня фишканы тақтаның кез-келген торына орналастырды. Әрбір келесі жүрісте Сережа, Таня жүрген бағанға, фишка қоюы тиіс, ал Таня, Сережа жүрген жолға фишка қоюы тиіс. Жүріс жасай алмаған ойыншы жеңіледі. Әділ ойында қай ойыншы жеңіске жетеді? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №42. $P\left( n \right)$ бүтін коэффициенттері бар квадрат үшмүше. $\left( {{d}_{n}} \right)$ тізбегі өспелі болатындай, әрбір $n$ үшін $P\left( n \right)$ санында өзінің ${{d}_{n}}$ бөлгіші табылады (яғни $1 < {{d}_{n}} < P\left( n \right)$). $P\left( n \right)$ үшмүшесін, бүтін коэффициенттері бар екі сызықтық көпмүшелердің көбейтіндісіне жіктеуге болатынын немесе $P\left( n \right)$ мәнін барлық натурал нүктелерінде $m > 1$ натурал санына бөлінетінін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №43. Әрбір екі көршілес әріп әртүрлі болатындай, 10-нан артық әріптен тұратын сөз берілсін. Пайда болған сан периодтық болмайтындай (бірдей ішкі сөздерге бөлінбейтіндей), көршілес оналасқан екі әріпті орындарымен алмастыруға болатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №44. 1-ден үлкен барлық сандар екі түске боялған (екі түс те пайдаланылған). $a+\dfrac{1}{b}$ және $b+\dfrac{1}{a}$ сандары әртүрлі түсті болатындай, нақты $a$ және $b$ бар екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №45. Натурал сандар тізбегінде 10 төрт дәрежелі сан және 100 куб бар. Осы тізбекте кем дегенде 2000 квадрат сан бар екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №46. Шексіз шахмат тақтасының әрбір торында, осы тордан, берілген $O$ торына ең кем дегенде неше жолмен ат фигурасы жете алатыны жазылған. Торды ерекше деп атайық, егер осы торда 100 саны жазылса және оның қасында орналасқан (қабырға бойынша) торларда 101 саны жазылса. Неше ерекше тор бар? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №47. Қызыл, көк және жасыл балалар шеңберге тұрды. Мұғалім, қасында жасыл бара тұрған, қызыл балалардан қол көтеруді сұрағанда, 20 бала қол көтерді. Ал қасында жасыл бала тұрған, көк балалардан қол көтеруді сұрағанда, 25 бала қол көтерді. Қол көтерген балалардың біреуінің қасында 2 жасыл бала тұрғанын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №48. $M$ нақты сандар жиынында, мүшелер саны бірден көп. $M$ жиынында жататын, кез келген $x$ үшін $3x-2$ және $-4x+5$ сандарының кем дегенде біреуі $M$ жиынында жататыны белгілі. $M$ жиыны шексіз екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №49. Үшмүшенің коэффициенттерінің орындарына осы сандарды кез келген орналасуда қойғанда, осы үшмүшеде бүтін түбір болатындай, үш нөлдік емес сандар бар. Осындай барлық үшмүшелерде бір түбір 1 екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №50. $P\left( x \right)$ — квадрат үшмүше. $P\left( 1 \right)$, $P\left( 2 \right)$, $P\left( 3 \right)$, $\ldots$ тізбегінде, алдыңғы екі үшмүшенің қосындысына тең, қанша ең көп дегенде квадрат үшмүше болуы мүмкін? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №51. $20\times 20$ тақтасының барлық торлары бос. Миша мен Саша кезектесіп бос торларға бір фишканы қояды (Миша бастайды). Қай ойыншының жүрісінен кейін, төрт фишка, екі баған мен екі жолдын қиылысуында тұрса, сол ойыншы жеңеді. Әділ ойында кім жеңеді? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №52. Қатар орналасқан екі сан өзара жай болмайтындай, ${{10}^{6}}$ санынан аспайтын барлық кұрама сандарды шеңбер бойына орналастырып шығуға болатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №53. 4 немесе 8 есе айырмашылығы бар екі сан, әртүрлі түске боялатындай, барлық оң нақты сандарды ең кем дегенде неше түске бояуға болады? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №54. Бір біріне тең емес екі үшмүше $f\left( x \right)$ және $g\left( x \right)$, коэффициенттерінің орындары бойынша өзгеше. Барлық нақты $x$ үшін, $f\left( x \right)\ge g\left( x \right)$ болуы мүмкін бе? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №55. Әрбір нақты $x$ үшін $f(x)$, $g(x)$ және $h\left( x \right)$ сандары қандай да бір үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болатындай, ал $f\left( x \right)-1$, $g\left( x \right)-1$ және $h\left( x \right)-1$ сандары үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болмайтындай, $f$, $g$ және $h$ квадрат үшмүшелері табылады. $f+g-h$, $f+h-g$, $g+h-f$ үшмүшелерінің біреуі тұрақты екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №56. Санды жақсы деп атайық, егер осы санның бөлгіштерінің кері мәндерінің қосындысы бүтін сан болса. Егер $m$ жақсы сан болса, ал $p > m$ жай сан болса, $pm$ жақсы сан емес екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №57. $c$ натурал саны берілсін. $\left\{ {{p}_{k}} \right\}$ тізбегі келесі ереже бойынша құрастырылады: ${{p}_{1}}$ кез-келген жай сан, ал ${{p}_{k+1}}$-саны $k\ge 1$ үшін, ${{p}_{1,}}$ ${{p}_{2,}}$ $\ldots$, ${{p}_{k.}}$ сандары құрамында кездеспейтін ${{p}_{k}}+c$-санының кез-келген жай бөлгіші. $\left\{ {{p}_{k}} \right\}$ тізбегі шексіз бола алмайтынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №58. Натурал нүктелерде мәні екінің натурал дәрежесі болатындай және коэффициенттері бүтін, квадрат үшмүше табыла ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №59. $G$ және $H$ нүктелерінің әрқайсысы $ABCDEF$ алтыбұрышының барлық төбелерімен, қиылыспайтын кесінділермен байланысқан. Пайда болған 18 кесіндіге 1, 2, 3, $\ldots$, 18 сандарын, ал $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ нүктелеріне нақты сандарды, әрбір кесіндіде осы кесіндінің төбелеріндегі сандардың айырмасына тең болатындай орналастыруға болады ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №60. Натурал санға, осы санның ең үлкен бөлгішін қосады, сосын пайда болған санға осы санның ең ұлкен бөлгішін қосады, және т. т. Осындай бірнеше амал орындағаннан кейін, пайда болған сан ${{3}^{2000}}$-не бөлінетінін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №61. Нақты коэффициенттері бар $P\left( x,y \right)$ көпмүшесі, $P\left( x+2y,x+y \right)=P\left( x,y \right)$ шартын қанағаттандырады. Кейбір $Q\left( t \right)$ көпмүшесі үшін $P\left( x,y \right)=Q\left( (x^2-2y^2)^2 \right)$ орындалатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №62. $ABCD$ параллелограмы берілсін. $ABC$ үшбұрышына іштейсырт салынған шеңбер $AB$ қабырғасымен $L$ нүктесінде жанасады, ал $BC$ қабырғасының жалғасымен $K$ нүктесінде жанасады. $DK$ түзуі, $AC$ диагональін $X$ нүктесінде қияды, ал $BX$ түзуі $ABC$ үшбұрышының $C{{C}_{1}}$ медианасын $Y$ нүктесінде қияды. $YL$ түзуі, $ABC$ үшбұрышының $B{{B}_{1}}$ медианасы және осы үшбұрыштың $CC'$ биссектрисасы бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №63. ${{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}$ айырмаларының арасында, натурал сандар тек бір рет кездесетіндей және ${{a}_{n+2}}-{{a}_{n}}$ айырмаларының арасында кездесетін натурал сандар 2015-тен үлкен болатындай, $\left( {{a}_{n}} \right)$ натурал сандардың өспелі тізбегі бар ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №64. Натурал санға, оның ең үлкен бөлгішін қосады, пайда болған санға осы санның ең ұлкен бөлгішін қосады, және т.т. Осындай бірнеше амал орындағаннан кейін, пайда болған сан ${{3}^{2000}}$-не бөлінетінін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №65. $\sqrt{n}$, $\sqrt[3]{n}$, $\sqrt[4]{n}$, $\ldots$, $\sqrt[10]{n}$ сандарының ондық санау жүйесіндегі жазылуында, үтірден кейін 2015 саны тұратындай, $n$ натурал саны бар екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №66. Әртүрлі 100 нақты сандар берілсін. Көршілес орналасқан торларда, сандар айырмасы 1-ге тең болмайтындай, осы сандарды $10\times 10$ кестесіне орналастыруға болатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №67. Барлық нақты $x$ үшін, $P\left( x \right)=Q\left( \ell \left( x \right) \right)$ болатындай, $P\left( x \right)$ және $Q\left( x \right)$ екі квадрат үшмүше үшін $\ell \left( x \right)$ сызықтық функциясы табылды. Осындай сызықтық $\ell \left( x \right)$ функциялар нешеу болуы мүмкін? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №68. Әртүрлі 3 жай сан берілсін. Осы сандардың қосындысы, ең көп дегенде осы сандардың нешеуіне бөліне алады? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №69. ${{p}^{2}}-pq-{{q}^{3}}=1$ теңдеуін жай сандар үшін шешіңіз ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №70. Теңдеуді натурал сандар жиынында шешіңіз: $\dfrac{1}{{{n}^{2}}}-\dfrac{3}{2{{n}^{3}}}=\dfrac{1}{{{m}^{2}}}$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №71. 2012 төбесі бар дұрыс көпбұрыштың төбелері қандай да бір қатарда ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $\ldots$, ${{A}_{2012}}$ әріптерімен белгіленді. Егер $k+l$ және $m+n$ сандары, 2012-ге бөлгенде бірдей қалдық берсе, ${{A}_{k}}{{A}_{l}}$ және ${{A}_{m}}{{A}_{n}}$ хордаларына ортақ нүкте жоқ екені белгілі. Вася көпбұрышты айнала қарастырғанда, алғашқы екі төбе ${{A}_{1}}$ және ${{A}_{4}}$ арқылы белгіленгенін көрді. Рет бойынша 10-ыншы орналасқан төбе қалай белгіленген? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №72. $p=1601$ (жай сан) болсын, ал қысқартылмайтын бөлшек $\dfrac{m}{n}$, алымдары $p$ санына қысқармайтын, $\dfrac{1}{{{0}^{2}}+1}$, $\dfrac{1}{{{1}^{2}}+1}$, $\ldots$, $\dfrac{1}{{{\left( p-1 \right)}^{2}}-1}$ бөлшектердің қосындысына тең болсын. $2m+n$ саны $p$ санына бөлінетінін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №73. Таня мен Сережа кезектесіп, шахмат тақтасының бос торларына фишкаларды қояды. Бірінші болып Таня фишканы тақтаның кез-келген торына орналастырды. Әрбір келесі жүрісте Сережа, Таня жүрген бағанға, фишка қоюы тиіс, ал Таня, Сережа жүрген жолға фишка қоюы тиіс. Жүріс жасай алмаған ойыншы жеңіледі. Әділ ойында қай ойыншы жеңіске жетеді? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №74. Әрбір екі көршілес әріп әртүрлі болатындай, 10-нан артық әріптен тұратын сөз берілсін. Пайда болған сан периодтық болмайтындай (бірдей ішкі сөздерге бөлінбейтіндей), көршілес оналасқан екі әріпті орындарымен алмастыруға болатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №75. 1-ден үлкен барлық сандар екі түске боялған (екі түс те пайдаланылған). $a+b$ және $ab$ сандары әртүрлі түсті болатындай, нақты $a$ және $b$ бар екенін дәлелдеңіз ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №76. $\dfrac{1}{n}$ санының ондық санау жүйесіндегі периодының ұзындығы 2011-ден үлкен болатындай, 100000 қатар келген жүз таңбалы сандардың ішінен $n$ саны табылатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №77. Қызыл, көк және жасыл балалар шеңберге тұрды. Мұғалім, қасында жасыл бара тұрған, қызыл балалардан қол көтеруді сұрағанда, 20 бала қол көтерді. Ал қасында жасыл бала тұрған, көк балалардан қол көтеруді сұрағанда, 25 бала қол көтерді. Қол көтерген балалардың біреуінің қасында 2 жасыл бала тұрғанын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №78. Екі нақты түбірі бар, $P\left( x \right)$ квадрат үшмүшесі, барлық $x$ үшін $P\left( {{x}^{3}}+x \right)\ge P\left( {{x}^{2}}+1 \right)$ теңсіздігін қанағаттандырады. $P\left( x \right)$ үшмүшесінің түбірлерінің қосындысын табыңыз. ( А. Голованов, К. Кохась, М. Иванов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №79. Натурал сандар тізбегі мынандай заңдылықпен құрылған: екіншісінен бастап әрбір мүшесі алдыңғысына оның барлық әртүрлі жай бөлгіштерінің көбейтіндісін қосқанға тең (мысалы, $12$ санынан кейін $18$ саны, ал $125$ санынан кейін $130$ саны тұру керек). Осылайша құрылған кез келген екі тізбектің ортақ мүшесі болатынын дәлелде. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №80. Тақтаға бір қатарға 1-ден 2018-ге дейінгі барлық натурал сандар жазылған: 1, 2, 3, $\ldots,$ 2018. Келесі шартты қанағаттандыратын қандай да бір екі санды табы-ңыздар: сол екі санды өшіргеннен кейін, өшірілген сандардың арасындағы сан-дардың қосындылары, қалған өшірілмеген сандардың қосындыларынан екі есе кіші болады. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №81. Крокодил загадал четыре клетки таблицы $2018\times 2018$, образующие прямоугольник со сторонами 1 и 4. Медведь может выбрать в таблице любой квадрат, образованный 9 клетками, и спросить, есть ли в нём хотя бы одна из загаданных клеток. За какое наименьшее количество таких вопросов Медведь наверняка сможет получить утвердительный ответ? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №82. Дополненная десятичная запись натурального числа $n$ — это представление его в виде суммы степеней числа 10 с целыми неотрицательными показателями, в котором каждое слагаемое повторяется не более 10 раз. Сколько различных дополненных десятичных записей у числа $n=2018 \, 2018 \, 2018 \dots 2018$ (число 2018 выписано 100 раз, то есть $n$ является 400-значным числом)? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №83. Дополненная десятичная запись натурального числа $n$ — это представление его в виде суммы степеней числа 10 с целыми неотрицательными показателями, в котором каждое слагаемое повторяется не более 10 раз. Сколько различных дополненных десятичных записей у числа $n=2018 \, 2018 \, 2018 \dots 2018$ (число 2018 выписано 100 раз, то есть $n$ является 400-значным числом)? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №84. Можно ли разрезать прямоугольник размером $2018\times 2019$ на фигурки вида уголка из 5 клеток (фигура, полученная вырезанием квадрата $2 \times 2$ из квадрата $3 \times 3$) и квадратика $2 \times 2$ (фигурки можно поворачивать и переворачивать)? ( А. Голованов )
комментарий/решение(6) олимпиада
Есеп №85. Решите в целых числах уравнение $2^a+a^2=4^b+b^2$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №86. Натурал $n$ саны берілген. Сөз деп қандай да бір алфавиттің әріптерінен құралған, ұзындығы $n$ болатын әріптер тізбегін айтамыз. Екі $A=a_1a_2 \ldots a_n$ және $B=b_1b_2 \ldots b_n$ сөздерінің $\rho(A, B)$ ара-қашықтығы деп, олардың сәйкес разрядтарындағы айырмашылықтар санын айтамыз (яғни $a_i\ne b_i$ шартын орындайтын $i$-дің жалпы саны). Егер $\rho (A,B)=\rho(A,C)+\rho(C,B)$ шарты орындалса, онда $C$ сөзі $A$ мен $B$ сөздерінің арасында жатыр дейміз. Кез келген үш сөздің қандай да біреуі қалған екеуінің арасында жататындай ең көп дегенде қанша сөз таңдауға болады? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №87. На плоскости нарисованы графики трех квадратных трехчленов. Могло ли так случиться, что первые два графика пересекаются в точках с абсциссами 1 и 4, второй и третий графики пересекаются в точках с абсциссами 2 и 5, а первый и третий графики пересекаются в точках с абсциссами 3 и 6? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №88. Даны вещественные числа $a\ne 0$, $b$ и $c$. Докажите, что существует многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами такой, что многочлен $aP^2(x)+bP(x)+c$ делится на $x^2+1$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №89. На доске написаны числа 1, 2, 3, \dots, 1024. Их разбивают на пары, потом каждую пару стирают и на её место записывают (неотрицательную) разность чисел в паре. Полученные 512 чисел снова разбивают на пары и т.д. После десяти операций на доске остаётся одно число. Чему оно может быть равно? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №90. С многочленом третьей степени разрешается неограниченное число раз проделывать следующие две операции:
(i) переставлять его коэффициенты, включая нулевые, в обратном порядке (так, из многочлена $x^3-2x^2-3$ можно получить многочлен $-3x^3-2x+1$);
(ii) заменять многочлен $P(x)$ на многочлен $P(x+1)$. Можно ли получить из многочлена $x^3-2$ многочлен $x^3-3x^2+3x-3$? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №91. В последовательности вещественных чисел $a_1$, $a_2$, \dots \ произведение $a_1a_2$ отрицательно, а при $n > 2$ для вычисления $a_n$ среди всех пар $(i, j)$, $1\leq i < j < n$, которые ранее не выбирались, выбирается одна пара $(i, j)$, для которой $a_i+a_j$ имеет наименьшую абсолютную величину, и полагается $a_n=a_i+a_j$. Докажите, что $|a_i| < 1$ при некотором $i$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №92. Существуют ли такие 6 натуральных чисел, что наибольший общий делитель каждых двух из них — простое число, не превосходящее 26, и при этом каждое такое простое число является наибольшим общим делителем каких-то двух из этих шести чисел? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №93. В последовательности целых чисел $a_1$, $a_2$, $ldots$ произведение $a_1a_2$ отрицательно, а при $n > 2$ для вычисления $a_n$ среди всех пар $(i, j)$, $1\leq i < j < n$, которые ранее не выбирались, выбирается одна пара $(i, j)$, для которой $a_i+a_j$ имеет наименьшую абсолютную величину, и полагается $a_n=a_i+a_j$. Докажите, что $a_i=0$ при некотором $i$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №94. На Всероссийской олимпиаде разрешено награждать строго меньше $45\% $ участников. В олимпиаде участвовало более 20 участников. После олимпиады Власти заявили, что результаты низкие, так как доля награждённых заметно отличается от $45\%.$ Жюри ответило, что доля награждённых и так была максимально возможной на этой олимпиаде и даже на любой олимпиаде с меньшим числом участников. Тогда Власти приказали увеличить число участников на следующих олимпиадах с тем, чтобы доля награжденных стала хотя бы в два раза ближе к $45\%.$ Докажите, что количество участников потребуется увеличить хотя бы вдвое. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №95. Существуют ли такие 6 натуральных чисел, что наибольший общий делитель каждых двух из них — простое число, не превосходящее 26, и при этом каждое такое простое число является наибольшим общим делителем каких-то двух из этих шести чисел? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №96. Компьютер экранында сан жанып тұр, ал компьютерді басқару құралында екі батырма бар. Батырманың біріншісін басқанда экранда жазылған $n$ саны $2n-1$ санына, ал екіншісін басқанда $2n+1$ санына айналады. Оператор болмаған кезде, қаскүнем Вася басқару құралын алып, батырмаларды 100 рет басқан. Оператор қайтып оралған кезде, ол экранда жанып тұрған сан бойынша Вася батырмаларды қандай ретпен басқанын анықтай алатынын дәлелдеңіз (оператор Вася келгенге дейін экранда қандай сан болғанын және Вася неше рет басқанын біледі). Есепті екі жағдай үшін шешіңіз:
а) бастапқыдағы экрандағы жанып тұрған сан — бүтін сан;
б) бастапқыдағы экрандағы жанып тұрған сан — кез келген сан. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №97. Натуральное число $n$ таково, что ни при каких натуральных $a$ и $b$ число $2^a3^b+1$ не делится на $n$. Докажите, что $2^c+3^d$ также не делится на $n$ ни при каких натуральных $c$ и $d$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №98. В множестве из 20 элементов выбраны $2k+1$ различных семиэлементных подмножеств, каждое из которых пересекается ровно с $k$ другими выбранными подмножествами. При каком наибольшем $k$ это возможно? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №99. Кез келген екі белгіленген санның айырмасы (үлкен саннан кішісін азайтады) толық квадрат болатындай, барлық натурал сандар қатарында шексіз көп сандарды белгілеп шығуға болады ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №100. Қандай да бір натурал $n$ саны үшін $3^n$ санын $2^n$ санына бөлгенде, қалдық $10^{2021}$ санынан үлкен болатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №101. Тұрақты емес $P(x)$ көпмүшесінің дәрежесі $n$-ге тең, ал коэффициенттері рационал сандар. Сонымен қатар $P(x)$ көпмүшесін коэффициенттері рационал болатын екі (тұрақты емес) көпмүшенің көбейтіндісі түрінде келтіруге болмайды. $P(Q(x))$ көпмүшесі $P(x)$ көпмүшесіне бөлінетіндей, коэффициенттері рационал сандар болатын ал дәрежесі $n$-нен кіші $Q(x)$ көпмүшелерінің саны
а) шекті екенін;
б) $n$-нен аспайтынын
дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №102. Энциклопедияның жүз томы 1-ден 100-ге дейін номірленген. Олар сөреде рет сақтаусыз қойылып тұр. Бір операцияда кез келген үш томды алып, оларды өз орындарында кез келген ретпен қоюға болады (яғни, егер осы томдар $a,b,c$ орындарында тұрса, онда бұл операциядан кейін осы томдар $a,b,c$ орындарында қалады, бірақ, мүмкін, басқа ретпен). $m$--нің ең кіші қандай мәнінде, алғашында томдар қалай орналасқанына қарамастан, $m$ операциямен осы томдарды рет сақталатындай орналастыруға болады деп пайымдауға болады? (Егер 1-ші том 1-орында, 2-ші том 2-ші орында, ..., 100-ші том 100-ші орында болса, онда томдар рет сақталуымен тұр деп есептейміз.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №103. Бір уақытта келесі шарттарды қанағаттандыратын әртүрлі натурал $a_1,a_2, \ldots, a_{100}$ сандары табылады ма:
i) барлық $1\le i < j\le 100$ үшін, $a_1a_2\ldots a_{100}$ саны $a_i+a_j$ санына бөлінеді;
ii) әрбір $k=1,2,\ldots ,100$ үшін, $1\le i < j\le 100$ және $a_1a_2\ldots a_{k-1}a_{k+1}\ldots a_{100}$ саны $a_i+a_j$ санына бөлінбейтіндей $i,j$ индекстері табылады? ( А. Голованов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №104. Өлшемі $100\times 100$ болатын торлы шаршыны $2\times 4$ және $1\times 8$ тіктөртбұрыш фигураларына, әр фигура саны өзара тең болатындай, кесіп шығуға болады ма? (Фигураларды бұруға және төңкеруге болады.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №105. $(a_n)$ және $(b_n)$ тізбектері келесі шарттармен берілген: $a_1=b_1=1$ және әрбір натурал $n$ саны үшін $a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_n}$, $b_{n+1}=b_n+\root 3\of {b_n}$. $a_n\leq b_k < a_{n+1}$ теңсіздігі дәл 2021 $k$ үшін орындалатындай натурал $n$ санының табылатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №106. Энциклопедияның жүз томы 1-ден 100-ге дейін номірленген. Олар сөреде рет сақтаусыз қойылып тұр. Бір операцияда кез келген үш томды алып, оларды өз орындарында кез келген ретпен қоюға болады (яғни, егер осы томдар $a,b,c$ орындарында тұрса, онда бұл операциядан кейін осы томдар $a,b,c$ орындарында қалады, бірақ, мүмкін, басқа ретпен). $m$--нің ең кіші қандай мәнінде, алғашында томдар қалай орналасқанына қарамастан, $m$ операциямен осы томдарды рет сақталатындай орналастыруға болады деп пайымдауға болады? (Егер 1-ші том 1-орында, 2-ші том 2-ші орында, ..., 100-ші том 100-ші орында болса, онда томдар рет сақталуымен тұр деп есептейміз.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №107. Коэффициенттері нақты сандар болатын $P(x)$ көпмүшесі мен натурал $n$ саны берілген. Кез келген натурал $m$ саны үшін, $P(l)=m^n$ болатындай бүтін $l$ санының табылатыны белгілі. Барлық нақты $x$ саны үшін $P(x)={(ax+b)}^k$ теңдігі орындалатындай нақты $a,b$ және натурал $k$ сандарының табылатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №108. 0 және 1 цифрларынан құралған $s$ тізбегі берілген. Кез келген натурал $k$ саны үшін $v_k$ арқылы ұзындығы $k$-ға тең қандай да бір тізбектің қатар келген цифрларынан $s$ тізбегін бөліп алудың ең үлкен тәсіл санын белгілейік. (Мысалға, егер $s=0110$ болса, онда $v_7$ және $v_8$ сандарының ең үлкен мәні $v_7=v_8=2$-ге тең, өйткені 0110110 және 01101100 тізбектерінде қатар келген цифрлардан 0110 тізбегін тек екі жерде ғана табуға болады, бірақ ұзындығы 7 және 8-ге тең ешқандай тізбекте осындай 0110 тізбегі үш жерде кездесе алмайды.) Егер қандай да бір натурал $n$ саны үшін $v_n < v_{n+1} < v_{n+2}$ теңсіздіктері орындалса, онда $s$ тізбегі тек бірдей цифрлардан құралғанын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №109. Кез келген натурал $m$ саны үшін $|\{\sqrt{m}\}-\frac{1}{2}|>\frac{1}{8(\sqrt{m}+1)}$ теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңіз. ($x$ санының бүтін $[x]$ бөлігі деп, $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін санды, ал бөлшек $\{x\}$ бөлігі деп $\{x\} = x-[x]$ санын айтамыз.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(7) олимпиада
Есеп №110. В последовательности квадратных трёхчленов $P_n$ каждый трёхчлен, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Первые два трехчлена не имеют общих корней. Может ли случиться, что при каждом $n$ у $P_n$ есть целый корень? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №111. Натуральные числа $n$ $(n > 1)$ и $k$ таковы, что для любого натурального делителя $d$ числа $n$ хотя бы одно из чисел $d+k$ и $d-k$ также является натуральным делителем числа $n$. Докажите, что число $n$ — простое. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №112. Даны натуральные числа $a$ и $b$ $(a > 1)$, причём $b$ делится на $a^2.$ Кроме того, любой делитель числа $b$, меньший, чем, является также делителем числа $a.$ Докажите, что у числа $a$ не более трех различных простых делителей. ( И. Богданов, А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №113. Дан многочлен $f(x)$ с вещественными коэффициентами степени выше 1. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде $$f(n+1)+\dots+f(n+k)$$ с натуральными $n$ и $k$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №114. Әртүрлі $A$ және $B$ натурал сандары берілген. $x_1^2+Ay_1^2$ түрінде де келтіруге болатын, бұл жерде $x_1$ және $y_1$ өзара жай сандар; $x_2^2+ By_2^2$ түрінде де келтіруге болатын, бұл жерде $x_2$ және $y_2$ өзара жай сандар, сандар саны шексіз көп екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №115. Шексіз көп сандардан құралған $\{\alpha\}$, $\{\alpha^2\}$, $\{\alpha^3\}$, $\ldots$ тізбегінде кездесетін әртүрлі сандар саны шекті екені белгілі. $\alpha$ саны бүтін сан екенін дәлелдеңіз. ($x$ санының бөлшек $\{x\}$ бөлігі деп, $\{x\} = x-[x]$ санын айтамыз. Бұл жерде $[x]$ саны $x$-тен аспайтын ең үлкен бүтін сан.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №116. Вася 100-ге дейінгі барлық натурал сандарды шеңбер бойына қандай да бір ретпен орналастырды. Егер шеңбердегі қандай да бір санның сағат тілі бағытымен орналасқан көршісі сағат тілі бағытына қарсы орналасқан көршісінен үлкен болса, сол санды лайықты орналасқан деп сан атаймыз. Шеңбер бойында кем дегенде 99 сан лайықты орналасуы мүмкін ба? ( И. Рубанов, А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №117. $n$ санын 2021-ге бөлгендегі қалдық, $n$ санын 2020-ға бөлгендегі қалдықтан 800-ге артық. Осындай $n$ санының ең кішісін табыңыз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №118. Нөлге тең емес нақты $n$ санның қосындысы нөлге тең ($n>2$ және сандар әртүрлі болуы міндетті емес). Осы сандардың бірнешеуін (кем дегенде біреуін) таңдаудың $2^n-1$ әдісі бар. Әр әдістегі таңдалған сандардың қосындысын есептеп, барлық ${2^n-1}$ қосындыны бір қатарға өспейтін ретпен жазып шыққан. Осы қатарда бірінші сан $S$-ке тең. Осы қатардағы екінші санның ең кіші мүмкін мәні нешеге тең? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №119. Егер натурал санды $ax^2+bxy+cy^2$ түрінде келтіруге болса, бұл жерде $a$, $b$, $c$, $x$, $y$ — бүтін сандар және $b^2-4ac=-20$, сол санды жақсы сан деп айтамыз. Екі жақсы санның көбейтіндісі де жақсы сан болатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(7) олимпиада
Есеп №120. $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ натурал сандары берілген. $a_1x_1+\dots+a_kx_k=n$ теңдеуінің теріс емес бүтін сандар жиынындағы шешімдер санын $S(n)$ деп белгілейік. Барлық жеткілікті үлкен $n$ сандары үшін ${S(n)\ne 0}$ екені белгілі. Барлық жеткілікті үлкен $n$ сандары үшін $S(n+1)<2S(n)$ екенін дәлелде. ( А. Голованов )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №121. $10\times 10$ кестесінің ұяшықтарына 1, 2, $\ldots$, 99, 100 сандары жазылған. ${2\times 2}$ шаршыдан бір ұяшықты алып тастағанда пайда болатын фигураны бұрыш деп атайық. Егер бұрышта қабырғасы ортақ болатын екі көршісі бар болатын ұяшықтағы сан сол екі көршісіндегі әр саннан артық болса, ондай бұрышты жақсы бұрыш деп атаймыз. Кестеде ең көп дегенде неше жақсы бұрыш болуы мүмкін? (Әр бұрыш басқаларға қатысты қалай орналасқанына қарамастан есептеледі және әртүрлі бұрыштар бір-бірімен қабаттасуы мүмкін.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №122. Вася, пайда болған көптаңбалы сан 41-ге бөлінетіндей етіп, бір қатарға 12345 санын бірнеше рет тізіп жазғысы келеді. Ол ойын жүзеге асыру үшін кемінде осы санды неше рет тізіп жазуы керек? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада