О. Нечаева


Задача №1.  Эксперту предъявили 12 одинаковых на вид монет, среди которых, возможно, есть фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые — тоже, фальшивая монета легче настоящей. У эксперта есть чашечные весы и эталонные монеты: 5 настоящих и 5 фальшивых. Сможет ли он за 4 взвешивания определить количество фальшивых монет в мешке?

( О. Нечаева )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Даны $2n$-значное натуральное число $a$ и натуральное число $k$. Числа $a$ и $ka$ записали на ленте и каждую из двух записей разрезали на двузначные числа, начиная с последних цифр (при этом числа $00$, $01$, $\ldots$, $09$ здесь тоже считаются двузначными; если в числе $ka$ оказалось нечетное количество цифр, к нему спереди приписали $0$). Оказалось, что у числа $a$ полученные двузначные числа строго убывают справа налево (от младших разрядов числа $a$ к старшим), а у числа $ka$ — строго возрастают. Докажите, что $k \geq n$. ( С. Берлов, О. Нечаева )
комментарий/решение(2) олимпиада