қазақша
русскийО. Нечаева
Задача №1. Эксперту предъявили 12 одинаковых на вид монет, среди которых, возможно, есть фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые — тоже, фальшивая монета легче настоящей. У эксперта есть чашечные весы и эталонные монеты: 5 настоящих и 5 фальшивых. Сможет ли он за 4 взвешивания определить количество фальшивых монет в мешке?
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. Даны $2n$-значное натуральное число $a$ и натуральное число $k$. Числа $a$ и $ka$ записали на ленте и каждую из двух записей разрезали на двузначные числа, начиная с последних цифр (при этом числа $00$, $01$, $\ldots$, $09$ здесь тоже считаются двузначными; если в числе $ka$ оказалось нечетное количество цифр, к нему спереди приписали $0$). Оказалось, что у числа $a$ полученные двузначные числа строго убывают справа налево (от младших разрядов числа $a$ к старшим), а у числа $ka$ — строго возрастают. Докажите, что $k \geq n$. ( С. Берлов, О. Нечаева )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №3. При каком наибольшем натуральном $k$ клетки таблицы $5\times 5$ можно заполнить нулями и единицами (в каждой клетке должно стоять ровно одно число) так, чтобы нашлись $k$ строк, в каждой из которых сумма чисел не меньше 3, и $k$ столбцов, в каждом из которых сумма чисел не больше 2? ( И. Рубанов, О. Нечаева )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4. Внутри треугольника $ABC$ расположена точка $P$. На стороне $BC$ выбрана точка $H$, не совпадающая с серединой стороны. Оказалось, что биссектриса угла $AHP$ перпендикулярна стороне $BC$, угол $ABC$ равен углу $HCP$ и $BP = AC$. Докажите, что $BH = AH$. ( О. Нечаева )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5. Найдите все натуральные числа $n$, для которых число $n^7+n^6+n^5+1$ имеет ровно три натуральных делителя. ( И. Рубанов, О. Нечаева )
комментарий/решение(1) олимпиада