А. Васильев


Задача №1.  Найдите все рациональные числа $a$, для которых существует бесконечно много таких положительных рациональных чисел $q$, что уравнение $\left[ {{x}^{a}} \right]\cdot \left\{ {{x}^{a}} \right\}=q$ не имеет решений в рациональных числах $x$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Найдите все рациональные числа $a$, для которых существует бесконечно много таких положительных рациональных чисел $q$, что уравнение $\left[ {{x}^{a}} \right]\cdot \left\{ {{x}^{a}} \right\}=q$ не имеет решений в рациональных числах $x$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  Существуют ли натуральное число $m\ge 2$ и многочлен с целыми коэффициентами $p\left( x \right)$, такие, что ${{F}_{n}}-p\left( n \right)$ делится на $m$ для любого натурального $n$? Здесь $\left( {{F}_{n}} \right)$ — последовательность Фибоначчи, которая задается двумя первыми членами ${{F}_{1}}={{F}_{2}}=1$ и рекуррентным соотношением ${{F}_{n+2}}={{F}_{n+1}}+{{F}_{n}}$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4.  Докажите, что для любого натурального $n$ на отрезке $[n-4\sqrt{n},~n+4\sqrt{n}]$ найдется число, представимое в виде ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$, где $x$ и $y$ — неотрицательные целые числа. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5.  Обозначим через $\mathbb{Q} $ множество всех рациональных чисел. Найдите все функции $f:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$, удовлетворяющие для любых рациональных чисел $x,y,z$ равенству $f\left( x,y \right)+f\left( y,z \right)+f\left( z,x \right)=f\left( 0,x+y+z \right).$ ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6.  Докажите, что для любого натурального $n$ на отрезке $[n-4\sqrt{n},~n+4\sqrt{n}]$ найдется число, представимое в виде ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$, где $x$ и $y$ — неотрицательные целые числа. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №7.  а) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде суммы нескольких рациональных чисел, произведение которых равно 1?
б) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде произведения нескольких рациональных чисел, сумма которых равна 1? ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №8.  Прямая $PQ$ касается вписанной в треугольник $ABC$ окружность таким образом, что точки $P$ и $Q$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$, соответственно. На сторонах $AB$ и $AC$ выбраны точки $M$ и $N$, соответственно, так, что $AM=BP$ и $AN=CQ$. Докажите, что все построенные таким образом прямые $MN$ проходят через одну точку. ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №9.  Число $1\underbrace{33 \ldots3}_{k - \text{раз}}$ — простое, $k > 1$. Докажите, что $k^2-2k+3$ кратно 6. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №10.  Пусть $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ — вневписанные окружности треугольника $A_1A_2A_3$ площади $ S $. $\omega_1$ касается стороны $A_2A_3$ в точке $B_1$ (и продолжении сторон $A_1A_2$ и $A_1A_3$). Прямая $A_1B_1$ пересекает $\omega_1$ в точках $B_1$ и $C_1$. Пусть $S_1$ — площадь четырехугольника $A_1A_2C_1A_3$. Аналогично определим $S_2$ и $S_3$. Докажите, что $$ \frac{1}{S} \leq \frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}. $$ ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №11.  Решите уравнение $p+\sqrt{q^2+r}=\sqrt{s^2+t}$ в простых числах. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №12.  Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, среднее арифметическое и среднее геометрическое делителей которых одновременно являются целыми числами. ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №13.  Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, среднее арифметическое и среднее геометрическое делителей которых одновременно являются целыми числами. ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №14.  Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $I$ касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. Точка $M$ делит отрезок $C_1B_1$ в отношении $3:1$, считая от $C_1$. $N$ — середина стороны $AC$. Докажите, что точки $I$, $M$, $B_1$, $N$ лежат на одной окружности, если известно что $AC=3(BC-AB)$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №15.  Дано натуральное число $n$. Один из корней квадратного уравнения $x^2-ax+2n=0$ равен $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+ \ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}$. Докажите, что $2\sqrt{2n} \leq a \leq 3\sqrt{n}.$ ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №16.  Определите наименьшее возможное число $n > 1$ такое, что существует натуральные числа $a_1, a_2,\ldots, a_n,$ для которых $$ {(a_1+a_2+ \ldots+a_n)}^2-1 \text{ делится на } a_1^2+a_2^2+ \ldots+a_n^2. $$ ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №17.  Назовем числами года неотрицательные целые числа, десятичная запись которых состоит только из цифр $0, 1, 2$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде $A^2 + B$, где $A$ — целое, а $B$ — число года. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №18.  Пусть $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Обозначим через $D$ основание высоты, опущенной из $A$ на $BC$, через $E$ — точку пересечения $AD$ и $CO$. Пусть $M$ — середина $AE$, а точка $F$ — основание перпендикуляра, опущенного из $C$ на $AO$. Докажите, что точка пересечения прямых $OM$ и $BC$ лежит на описанной окружности треугольника $BOF$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №19.  Назовем числами года неотрицательные целые числа, десятичная запись которых состоит только из цифр 0, 1, 2. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде $A^2 + B$, где $A$ — целое, а $B$ — число года. ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №20.  Дано положительное действительное число $A$. Найдите наибольшее возможное значение действительного числа $M$, для которого выполнено неравенство $$\displaylines{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{A}{x+y}\geq\frac{M}{\sqrt{xy}} }$$ для любых положительных действительных чисел $x, y$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №21.  Окружность $\omega$ проходит через вершину $B$, касается стороны $AC$ в точке $D$ и пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$, соответственно. Прямая $PQ$ пересекает $BD$ в точке $M$, а $AC$ — в точке $N$. Докажите, что $\omega$, окружность, описанная около треугольника $DMN$, и окружность, касающаяся $PQ$ в точке $M$ и проходящая через $B$, пересекаются в одной точке. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №22.  Для вещественных чисел $1\leq a\leq b \leq c \leq d \leq e \leq f$ докажите неравенство $$(af + be + cd)(af + bd + ce) \leq (a + b^2 + c^3 )(d + e^2 + f^3 ).$$ ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №23.  Последовательность $\{a_n\}$ целых чисел удовлетворяет соотношению ${a_{n + 2}} = a_{n + 1}^2 + {a_n}$ для всех натуральных $n$. Докажите, что существует $m > 1$ такое, что $a_2^3 + a_3^3 + \ldots + a_m^3 $ делится на 2004. ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №24.  Около остроугольного треугольника $ABC$, где $\angle ABC=2\angle ACB$, описана окружность с центром $O$. Пусть $K$ — точка пересечения $AO$ и $BC$, а точка $O_1$ — центр описанной окружности треугольника $ACK$. Докажите, что площадь четырехугольника $AKCO_1$ равна площади треугольника $ABC$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №25.  Докажите, что для любого целого положительного $n$ среднее арифметическое чисел $\sqrt[1]{1},\sqrt[2]{2},\sqrt[3]{3},\ldots ,\sqrt[n]{n}$лежит на отрезке $\left[ 1,1+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right]$. ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №26.  Трапеция $ABCD$, где $BC||AD$, вписана в окружность, $E$ — середина дуги $AD$ этой окружности, не содержащей точку $C$. Пусть $F$ — основание перпендикуляра, опущенного из $E$ на прямую, касающуюся окружности в точке $C$. Докажите, что $BC=2CF$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №27.  Пусть натуральные числа $a,b,c,d$ таковы, что $d$ делит $a^{2b}+c$ и $d \ge a+c$. Докажите, что $d \ge a + \sqrt[2b]{a}$. ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада