Е. Байсалов

Есеп №1. Кез келген $a,b\in T$ үшін ($a$ мен $b$ әртүрлі болуы міндетті емес), $2a+b$ санын 2016-ға бөлгендегі қалдығы да $T$-да жататындай, $S=\left\{ 0,1,2\ldots ,2015 \right\}$ жиынының бос емес қанша $T$ ішкі жиыны бар? ( Е. Байсалов )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №2. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясы, мұндағы $\mathbb{R}$ — нақты сандар өрісі, кез келген $x,y\in \mathbb{R}$ үшін $f(f(x)+x+y)=2x+f(y)$ тепе-теңдігін қанағаттандырады. Онда мынадай екі ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}\in \mathbb{R}$ сандары табылатынын дәлелдеңіздер: әрбір $r$ нақты саны дәл бір ғана әдіспен $r={{r}_{1}}+{{r}_{2}}$ қосындысына жіктеледі, мұнда әрбір $i=1,2$ үшін ${{r}_{i}}\in \mathbb{R}$ және $f({{r}_{i}})={{\alpha }_{i}}\cdot {{r}_{i}}$. ( Д. Елиусизов, Е. Байсалов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №3. $B_n$ — бірліктер мен нөлдерден құралған, ұзындығы $n$ болатын барлық тізбектер жиыны болсын. Барлық екі $a,b \in B_n$ тізбектері үшін (міндетті түрде бірдей емес), $\varepsilon_0=\delta_0=0$ және $$ \varepsilon_{i+1}=(\delta_i-a_{i+1})(\delta_i-b_{i+1}), \quad \delta_{i+1}=\delta_i+(-1)^{\delta_i}\varepsilon_{i+1} \quad (0 \leq i \leq n-1) $$ шарттарын қанағаттандыратын $\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2 \dots \varepsilon_n$ және $\delta_0\delta_1\delta_2 \dots \delta_n$ қатарларын анықтайық. $w(a,b)=\varepsilon_0+\varepsilon_1+\varepsilon_2+\dots +\varepsilon_n$ болсын. $f(n)=\sum\limits_{a,b \in {B_n}} {w(a,b)} $ қосындысын табыңыз. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №4. Компландия еліне баруға жиналған турист келесі жайттарды байқады:
a) бұл елде 0-ден 1023-ке дейінгі бүтін сандармен нөмірленген 1024 қала бар екен;
b) егер $m$ және $n$ сандарының екілік жүйедегі жазылуларының тек қана бір орнында ғана өзгешелік бар болса, және тек қана сонда $m$ және $n$ қалаларын қосатын тура жол бар;
c) туристтің осы елде болатын уақыт аралығында 8 жол жоспарланған жөндеуге жабылады.
Турист Компландия елінің ашық жолдарын қолданып оның әрбір қаласын дәл бір рет басып өтетін тұйық маршрут құра алатынын дәлелдеңіз. \q{4} ( Е. Байсалов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №5. Егер кез келген әртүрлі $i,j,k\in \{1,2,\ldots,n\}$ үшін $\frac{2}{3}{{f}_{i}}+{{f}_{j}}+{{f}_{k}}$ көпмүшелігінің нақты түбірлері жоқ болып, ал кез келген әртүрлі $p,q,r,s\in \{1,2,\ldots,n\}$ үшін ${{f}_{p}}+{{f}_{q}}+{{f}_{r}}+{{f}_{s}}$ көпмүшелігінің нақты түбірлері табылса, онда коэффициенттері нақты ${{f}_{1}},{{f}_{2}},\ldots,{{f}_{n}}$ көпмүшеліктер жиынын ерекше дейміз.
1) Қосындысы нөлдік көпмүшелік болмайтын төрт көпмүшеліктен тұратын ерекше жиынға мысал келтір.
2) Бес көпмүшеліктен тұратын ерекше жиын табыла ма? ( Е. Байсалов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №6. Тақтаға $2$, $3$, $5$, $\ldots$, $2003$ сандары, яғни ${[2; 2007]}$ аралығындағы барлық жай сандар жазылған. Біз $a,b$ сандарын $\sqrt{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}$ санынан аспайтын жай санмен ауыстыруды сирету амалы деп атаймыз. Алдымен оқушы $q$ санын өшіреді, мұнда $2 < q < 2003$; сонан соң бір сан қалғанға шейін сирету амалын қалған сандарға бірнеше рет қолданады. Соңында шыққан санның ең үлкен мүмкін мәнін және ең кіші мүмкін мәнін тап. Бұл мәндер алғаш өшірілген $q$ санына қалай тәуелді? ( Е. Байсалов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №7. $p$ саны $12n + 11$ түріндегі жай сан. $M = \{ 1, 2, \ldots, p-1\}$ жиынының $S$ ішкі жиынын мәнді деп атайық, егер сол ішкі жиынның барлық $\Pi_s$ элементтер көбейтіндісі, $M$-нің барлық қалған $\overline{\Pi}_s$ элементтер көбейтіндісінен кіші болса. Сонымен қатар $\Delta_s = \Pi_s - \overline{\Pi}_s$ айырмасы $S$ ішкі жиынының ауытқуы деп аталады. $\frac{p-1}{2}$ элементтен тұратын мәнді ішкі жиынның ауытқуын $p$-ға бөлгендегі мүмкін қалдықтардың ең кішісін табыңыз. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №8. Кез келген $p$ жай саны үшін саны $({x^2} + p{t^2})({y^2} + p{t^2})({z^2} + p{t^2})$ толық квадрат болатындай шексіз көп $(x, y, z, t)$ өзара тең емес бүтін сандардың төрттіктері табылатынын дәлелдеңіз. ( Д. Елиусизов, Е. Байсалов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №9. Пусть $n > 1$ — натуральное число. Дана функция $f:I \to \mathbb{Z},$ где $I$ — множество всех целых чисел, взаимно простых с $n$. ($\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел). Натуральное число $k$ называется {\it периодом} функции $f$ если $f(a)=f(b)$ для любых $a,b\in I$ таких, что $a \equiv b \pmod k$. Известно, что $n$ является периодом функции $f.$ Докажите, что минимальный период функции $f$ делит все ее периоды.
Пример.} Когда $n=6,$ функция $f$ с периодом 6 полностью определяется своими значениями $f(1)$ и $f(5).$ Если $f(1)=f(5),$ то функция имеет минимальный период $P_{\min}=1$, а если $f(1)\ne f(5),$ то $P_{\min=3.$ ( Е. Байсалов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №10. Нөл мен бірлер жазылған, өлшемі $6\times 6$ болатын кестенің әрбір жолындағы және оның әрбір бағанындағы сандардың қосындысы 3-ке тең болса оны дұрыс деп атаймыз. Егер екі дұрыс кестенің біреуін екіншісінен жолдарының және бағандарын бірнеше рет ауыстырып алуға болатын болса, олар ұқсас деп атаймыз. Өзара ұқсас емес дұрыс кестелердің ең үлкен мүмкін санын табыңдар. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение олимпиада