қазақша
русскийКим А.
Есеп №1. Жазықтықта 101 көк және 101 қызыл нүктелер таңдалған, және кез келген үш нүкте бір түзудің бойында жатпайды. Екі ұшы да қызыл болатын барлық кесінділер ұзындықтарының қосындылары 1-ге тең (яғни $101\cdot 100/2$ кесінділер қосындысы), екі ұшы да көк болатын барлық кесінділер ұзындықтарының қосындылары да 1-ге тең, ал ұштары әр түсті болатын кесінділер ұзындықтарының қосындысы 400-ге тең. Барлық қызыл нүктелер түзудің бір жағында, ал барлық көк нүктелер сол түзудің басқа жағында болатындай түзу жүргізуге болатынын дәлелдеңіз. ( Ким А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. Жазықтықта 101 көк және 101 қызыл нүктелер таңдалған, және кез келген үш нүкте бір түзудің бойында жатпайды. Екі ұшы да қызыл болатын барлық кесінділер ұзындықтарының қосындылары 1-ге тең (яғни $101\cdot 100/2$ кесінділер қосындысы), екі ұшы да көк болатын барлық кесінділер ұзындықтарының қосындылары да 1-ге тең, ал ұштары әр түсті болатын кесінділер ұзындықтарының қосындысы 400-ге тең. Барлық қызыл нүктелер түзудің бір жағында, ал барлық көк нүктелер сол түзудің басқа жағында болатындай түзу жүргізуге болатынын дәлелдеңіз. ( Ким А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. $n!+10^{2014}=m^4$ теңдеуін натурал сандар жүйесінде шешіңіздер. ( Ким А. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Есеп №4. $a,b,c > 1$ болатындай нақты сандар берілген. $a^a + b^b +c^c \geq a^b+b^c+c^a $ теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Ким А. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №5. Тақтада ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}}$ сандары жазылған (әртүрлі болуы міндетті емес). Әр жүрісте келесі операцияны орындауға болады: егер жазылған екі санның ешқайсысы сол екеуінің ЕҮОБ-і мен ЕКОЕ-нің ешқайсысына тең болмаса, онда оларды өшіріп, орнына сол ЕҮОБ пен ЕКОЕ-ті жазуға рұқсат. Осындай операцияларды қолданғанда жүрістер саны шектеулі екенін және соңғы нәтиже (пайда болған сандар жиыны) жүрістер тізбегіне тәуелсіз екенін дәлелде. ( Ким А. )
комментарий/решение олимпиада