қазақша
русскийД. Карпов
Есеп №1. Графиния елінде $n$ $(n \geq 2)$ қала бар. Кейбір қалалар тұра (қонбай ұшып өтетін) авиажолымен қосылған (әр авиажолмен рейстер екі бағытта да орындалады). Кез келген қаладан ұшақпен кез келген басқа қалаға жетуге болады (басқа қала арқылы жету де мүмкін), бірақ, кез келген авиажолды жапса, ол шарт бұзылады. Сонымен қатар әр қаладан $d$-дан көп емес авиажол шығады. Графиния қаласының барлық қалаларын, әр авиажол әр түрлі топтағы екі қаланы қосатындай және кез келген екі топ үшін сол екі топты қосатын авиажол саны бірден аспайтындай, саны $\dfrac{n}{2} + d$ санынан аспайтын топ санына бөлуге болатынын дәлелдеңіз. ( Д. Карпов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. Эйлерии елінде 101 қала бар. Кез келген екі қала 99 авиакомпанияның қандай да бір біреуінің екі бағытты тұра рейсімен қосылған. Әр қаладан барлық 99 авиакомпанияның рейстері шығатыны белгілі. Егер үш қаланың кез келген екеуі қос-қостан бірдей авиякомпания рейсімен қосылса, онда оларды үшбұрыш деп атайық. Эйлерии елінде үшбұрыш саны 1-ден көп емес екенін дәлелдеңіздер. ( И. Богданов, Д. Карпов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. $N$ қаласында, әрқайсысы 10 адамнан тұратын көптеген оппозициялық қоғам бар. Кез-келген 2004 қоғам үшін, кем дегенде олардың 11-іне мүше адам табылады. Үкімет, әрбір қоғамда кем-дегенде бір адам тұтқындалатындай, 2003 адамды тұтқындай алатынын дәлелдеңіз. ( Д. Карпов, В. Дольников )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №4. Келесі шартты қанағаттандыратын жеті таңбалы қатар келген 10000 сан табылады ма: сол сандарды, әр топтағы сандардың қосындысы бірдей болатындай, 99 топқа бөлуге болады? ( Д. Карпов )
комментарий/решение(1) олимпиада