Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 8 класс

Вне квадрата $ABCD$ взяли такую точку $P$, что $AP=AB$ и $\angle ADP=10^\circ $. Какие возможные значения может иметь величина угла $\angle APB$?

Комментарий/решение

Ответ. $35^\circ$ или $55^\circ$.

Треугольники $APD$ и $ABP$ — равнобедренные. Возможны два случая.

Случай первый. Отрезки $PD$ и $AB$ пересекаются.

В этом случае угол $PAB$ лежит внутри угла $PAD$. Имеем: $\angle PAD=180^\circ-20^\circ=160^\circ $, $\angle PAB=\angle PAD-\angle BAD=160^\circ-90^\circ=70^\circ $. Следовательно, $\angle APB=55^\circ$.

Случай второй. Отрезки $PD$ и $AB$ не пересекаются.

В этом случае $\angle PAB$ и $\angle PAD$ вместе с углом $A$ данного квадрата образуют полный угол. Имеем: $\angle PAD=180^\circ-20^\circ=160^\circ $, $\angle PAB=360^\circ-\angle PAD-90^\circ=360^\circ-160^\circ-90^\circ=110^\circ $. Следовательно, $\angle APB=35^\circ$.