Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс

Докажите, что для любого натурального числа $n$ существуют натуральные числа $a$, $b$, $c$ такие, что $$ n = (a^2 - bc)(b, c) + (b^2 - ca)(c, a) + (c^2 - ab)(a, b). $$ Здесь $(a, b)$ — наибольший общий делитель чисел $a$, $b$. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Возьмем $ a=n (n^2+n-1) , b= n (n+1) , c=1$, тогда легко видеть, что уравненине верно.