Олимпиада имени Леонарда Эйлера2008-2009 учебный год, III тур дистанционного этапа

В каждой клетке клетчатой доски размером $50\times50$ записано по числу. Известно, что каждое число в 3 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по стороне, и в 2 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по диагонали. Докажите, что каждую клетку доски можно покрасить в красный или синий цвет так, что сумма всех чисел, записанных в красных клетках, равна сумме всех чисел, записанных в синих клетках.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Покажем, что подойдёт раскраска клеток доски в шахматном порядке. Заметим, что сумма данного числа и его соседей по диагоналям равна сумме соседей этого числа по сторонам: обе суммы втрое больше данного числа. Поэтому в квадрате $2\times2$, находящемся в углу доски, суммы чисел в красных и синих клетках совпадают: обе они втрое больше числа, стоящего в угловой клетке доски. Также совпадают суммы чисел в красных и синих клетках любого прямоугольника $3\times 2$, примыкающего длинной стороной к краю доски: обе они втрое больше числа, стоящего в средней клетке стороны, примыкающей к краю доски. Наконец, совпадают суммы чисел в красных и синих клетках любого квадрата $3\times 3$: обе они втрое больше числа, стоящего в центре квадрата. Разобьём доску $50\times 50$ на квадрат $48\times 48$, квадрат $2\times 2$ и два прямоугольника $2\times 48$, как показано на рис. 5. Квадрат $48 \times 48$ разобьём на квадраты $3 \times 3$, а прямоугольники $2\times 48$ — на прямоугольники $3 \times 2$, примыкающие длинной стороной к краю доски. В каждом из этих квадратов и прямоугольников суммы чисел, стоящих в красных и синих клетках, равны. Значит, они равны и на всей доске.