Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2009-2010 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

$D$ нүктесі $ABC$ тік бұрышты үшбұрышының $AB$ гипотинузасынан алынған, бірақ оның ортасы емес. $AD$, $BD$ мен $CD$ өзара тең емес екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. $AD$ не равно $BD$ по условию. Допустим, $AD = CD$. Тогда равны углы $DAC$ и $ACD$. Пусть каждый из них равен $x$. Но тогда каждый из углов $DAB$ и $ABD$ равен $90^\circ-x$, откуда $AD =BD = CD$ — противоречие. Аналогично, $CD$ не может равняться $BD$.