Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2009-2010 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Б өзені арқылы К мен М пунктер арасында жылдамдықтары бірдей және бірқалыпты қозғалатын бірнеше қайықтар жүзіп жүр. Әр қайық әр пунктта келесі пунктқа жүзіп өтуге кететін уақыт бойы тұрады. Саяхатшы әр пунктен қайықтар бірдей уақыт аралығында жөнеліп тұратынын байқады және оның қайығы айлақтардың біруіне басқа жағадан қайық келген кезде жөнелтілді. Барлық қайықтар саны төртке бөлінетінін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть паромы отправляются от причала с интервалом $t$ минут, через озеро плывут по $T$ минут, а пока паром путешественника стоял у берега, к этому берегу прибыло $n$ других паромов. Так как последний из них прибыл в момент отплытия путешественника, промежуток времени $t$ укладывается в промежутке времени $T$ ровно $n$ раз, то есть $T = nt$. С другой стороны, каждый паром отправляется из данного пункта, например, $K$ с интервалом в $4T$: $T$ на переправу, $T$ на стоянку в $M$, $T$ на обратную переправу и $T$ на стоянку перед следующим отправлением. Следовательно, всего на переправе работает $4T/t = 4n$ паромов.