Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2009-2010 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

Төртбұрыштың 4 қасиеттері:
a) қарама қарсы қабырғалары өзара тең;
b) екі қарама қарсы қабырғалары параллель;
c) кейбір көршілес қабырғалары тең;
d) диоганальдары перпендикуля және қиылысу нүктесінде бірдей қатынаста бөлінеді.
Берілген екі төртбұрыштың біреуі жоғарыдағы қасиеттің екеуі ие, ал екіншісі қалған екеуіне ие. Ондай болса екі төртбұрыштың біреуі ромб екенін дәлелде.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Нетрудно проверить, что четырехугольники со свойствами ${(1)+(3)}$, либо ${(3)+(4)}$, либо ${(1)+(4)}$ — ромбы (в работах участников это, разумеется, должно быть доказано). Осталось заметить, что при любом разбиении данных четырех свойств на две пары среди пар будет присутствовать одна из трёх перечисленных выше.