Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2010-2011 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

Алина шахмат тақтасына ($8\times 8$ тақта) 22 әртүрлі (бірақ бір-бірімен қиылыса алатын) үш шаршы тіктөртбұрыш салып шықты, ал Полина — 22 өзара қиылыспайтын екі шаршы тіктөртбұрыштарды салып шықты (бірақ олар Алинаның салған тіктөртбұрыштарымен қиылысу мүмкін). Кем дегенда екі салынған фигураны толығымен қамтитын 5 шаршыдан тұратын крест-тәрізді фигураны әрдайым қоюға болатынын дәлелдеңіз. (Крест-тәрізді фигура тақта сыртына шыға алады.)

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     >Решение. Заметим, что крест накрывает прямоугольник $1 \times 3$, если их центральные клетки совпадают, и накрывает прямоугольник $1 \times 2$, если центральная клетка креста лежит в прямоугольнике. Отметим центральные клетки длинных прямоугольников и все клетки коротких; всего получилось 66 отмеченных клеток, значит, какая-то отмечена дважды. Если сделать её центральной клеткой креста, он накроет два прямоугольника.