Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 10 класс

На стороне $BC$ равностороннего треугольника $ABC$ построена полуокружность, лежащая вне треугольника. На ней выбраны точки $D$ и $E$ так, что $BD=DE=EC$. Докажите, что отрезки $AD$ и $AE$ делят сторону $BC$ на три равные части.

Комментарий/решение

$A'$ - точка, симметричная $A$ относительно $BC$. Тогда:

1) Вся картина симметричная относительно $AA'$.

2) $\angle CDB = \angle CEB = 90$, то есть $D,E$ - середины $A'B,A'C$.

Пусть $AD \cap BC = F$, тогда из-за параллельности $AC$ и $A'B$ получаем $ACF \sim DBF$ с коэффициентом $ \frac{1}{2}$ и $\frac{BF}{FC} = \frac{1}{2}$, а из-за симметрии выходит, что точка симметричная $F$ лежит на $AE$ и делит отрезок $BC$ в таком отношении, то есть $AD,AE$ делят $BC$ на $3$ равные части.