Олимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, II тур дистанционного этапа

На острове 1000 деревень, в каждой из которых 99 жителей. Каждый житель острова — либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжет. При этом известно, что на острове ровно 54054 рыцаря. В один прекрасный день каждому жителю острова был задан вопрос: «Кого в Вашей деревне больше: рыцарей или лжецов?» Оказалось, что в каждой деревне на этот вопрос 66 человек ответило, что в деревне больше рыцарей, и 33 — что больше лжецов. Сколько на острове деревень, в которых рыцарей больше, чем лжецов?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 638.
Решение. Поровну рыцарей и лжецов ни в одной деревне быть не может, потому что тогда все ее жители солгали бы. Если в деревне больше рыцарей, то, очевидно, правду сказали 66 человек и 33 человека солгали, а если больше лжецов — то наоборот. Пусть на острове $n$ деревень, где больше рыцарей. Тогда из условия следует, что $66n+33(1000-n) = 54054$. Решая это уравнение, получаем ответ.