Олимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, II тур дистанционного этапа

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$, и на ее продолжении за точку $L$ выбрана точка $K$, для которой $LK = AB$. Оказалось, что $AK \parallel BC$. Докажите, что $AB > BC$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть угол $ABC$ равен $2x$. Тогда каждый из углов $ABL$, $CBL$ и $AKB$ равен $x$ (последний — как внутренний накрест лежащий с $CBL$ при пересечении параллельных прямых $AK$ и $BC$ с $BK$). Следовательно, треугольник $BAK$ — равнобедренный, откуда $AK = AB$. Так как по условию $LK = AB$, треугольник $AKL$ —равнобедренный, откуда получаем, что углы $KAL$, $KLA$ и $BLC$ равны $90^\circ-x/2$. Осталось заметить, что угол $BAC$ равен (из треугольника $BAK$) $180^\circ-2x-(90^\circ-x/2)$, а угол $BCA$ равен (из треугольника $BCL$) $180^\circ-x-(90^\circ-x/2$). Таким образом, угол $BCA$ больше угла $BAC$, откуда $AB > BC$.