Олимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, II тур дистанционного этапа

В строку выписаны 2011 последовательных пятизначных чисел. Оказалось, что сумма цифр 21-го числа равна 37, а сумма цифр 54-го равна 7. Найдите сумму цифр 2011-го числа. (Приведите все возможные варианты ответа и докажите, что других ответов нет).

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 29.
Решение. При переходе от 21-го числа к 54-му сумма цифр уменьшается на 30. Легко проверить, что такое возможно, только если по дороге происходит переход через число, кратное 10000. Но это значит, что в разрядах тысяч и сотен у 21-го числа стоят девятки, а в разряде десятков — не меньше шестерки. Поэтому у 11-го из выписанных чисел цифра десятков на единицу меньше, чем у 21-го, а остальные цифры — такие же, и сумма цифр 11-го числа равна 36. 2011-е число ровно на 2000 больше 11-го, причем между ними есть число, кратное 10000. Поэтому 11-е и 2011-е число совпадают в последних трех разрядах, а сумма цифр в разрядах тысяч и десятков тысяч у 2011-го числа на 7 меньше (при переходе через число, кратное 10000, она упала на 8, а при переходе через следующее число, кратное 1000, выросла на 1), откуда и получаем ответ.