Олимпиада имени Леонарда Эйлера2013-2014 учебный год, I тур дистанционного этапа

Дана дробь 2/3. Разрешается много раз выполнять следующие операции: прибавлять 2013 к числителю или прибавлять 2014 к знаменателю. Можно ли с помощью только этих операций получить дробь, равную 3/5?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нельзя.
Решение. Допустим, нашлись такие целые неотрицательные $a$ и $b$, что $(2+2013a)/(3+2014b) = 3/5$. По правилу пропорции имеем $5 \cdot (2+2013a) = 3 \cdot(3+2014b)$. Раскрыв скобки, после преобразования получим $5 \cdot 2013a-3 \cdot 2014b = 1$. Но оба члена в левой части последнего равенства делятся на 3, а 1 на 3 не делится. Противоречие.