Олимпиада имени Леонарда Эйлера2013-2014 учебный год, I тур дистанционного этапа

Диагонали $AD$ и $BE$ выпуклого пятиугольника $ABCDE$ пересекаются в точке $P$. Известно, что $AC = CE = AE$, $\angle APB = \angle ACE$ и $AB+BC = CD+DE$. Докажите, что $AD = BE$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. По условию треугольник $ACE$ — равносторонний, откуда $\angle APB = \angle ACE = 60^\circ$ и $ \angle APE = 120^\circ$. Положим $\varphi = \angle BEA$. Тогда $\angle DAE = 180^\circ- \angle APE- \angle BEA = 60^\circ-\varphi$, откуда $\angle CAD = \varphi$. Поэтому при повороте на $120^\circ$ относительно центра треугольника $ACE$, переводящем $A$ в $E$, луч $AD$ перейдет в луч $EB$, а точка $D$ — в такую точку $F$, что $EF = AD$ и $AF+FC = CD+DE = AB+BC$. Нетрудно показать, что если $EF > EB$, то $AF+FC > AB+BC$, а если $EF < EB$, то $AF+FC < AB+BC$. Поэтому $AD = EF = BE$, что и требовалось доказать.