Олимпиада имени Леонарда Эйлера2013-2014 учебный год, III тур дистанционного этапа

Миша и Маша ехали на поезде в Киров. Миша лежал на полке, а Маша смотрела в окно. «Далеко ли до Кирова?» — спросил Миша у Маши в 12.00. «73 километра», — ответила Маша. На тот же вопрос, заданный в 12.15 и 12.45, Маша ответила: «62 километра» и «37 километров». Известно, что Маша, если расстояние составляло не целое число километров, каждый раз округляла его до ближайшего целого числа (а если таких было два — то до любого из них по своему выбору). Найдите скорость поезда, если известно, что она была постоянной. Укажите все возможности и докажите, что других нет.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 48 км/ч.
Решение. Поскольку Маша каждый раз округляла расстояние до ближайшего целого числа, в 12.00 до Кирова было не меньше, чем 72,5 и не больше, чем 73,5 км, в 12.15 — не меньше, чем 61,5 и не больше, чем 62,5 км, а в 12.45 — не меньше, чем 36,5 и не больше, чем 37,5 км. Поэтому за 15 минут с 12.00 до 12.15 поезд проехал не меньше 10 и не больше 12 км, а за 30 минут с 12.15 до 12.45 — не меньше 24 и не больше 26 км. Так как 15 минут — это четверть часа, а 30 минут — половина часа, первое означает, что скорость поезда — не меньше $10 \cdot 4 = 40$ км/ч и не больше $12 \cdot 4 = 48$ км/ч, а второе — что она не меньше $24 \cdot 2 = 48$ км/ч и не больше, чем $26 \cdot 2 = 52$ км/ч. Единственная скорость, удовлетворяющая обоим этим условиям, составляет 48 км/ч.