Олимпиада имени Леонарда Эйлера2008-2009 учебный год, II тур регионального этапа

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ некоторая точка диагонали $AC$ принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам $AB$ и $CD$, а некоторая точка диагонали $BD$ принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам $AD$ и $BC$. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть $E$ — точка на диагонали $AC$, принадлежащая серединным перпендикулярам к сторонам $AB$ и $CD$, а $F$ — некоторая точка диагонали $BD$, принадлежащая серединным перпендикулярам к сторонам $AD$ и $BC$. По неравенству треугольника имеем $EB+ED \geq BD$, $FA+FC\geq AC$. Из условия следует, что $EA = EB$, $EC = ED$, $FA = FD$, $FB = FC$. Отсюда $AC = EA+EC = EB+ED \geq BD$. Аналогично, $BD \geq AC$, откуда $EB+ED = BD = AC = EA+EC$. Поскольку $EB+ED = BD$ только когда точка $E$ лежит на отрезке $BD$, точка $E$ лежит на обеих диагоналях четырёхугольника $ABCD$, те есть является точкой их пересечения. Аналогично, точкой пересечения диагоналей является точка $F$, откуда $E = F$. Но это значит, что $EA = EB = EC = ED$. Таким образом, диагонали четырёхугольника $ABCD$ равны и точкой своего пересечения делятся пополам, откуда и следует, что $ABCD$ — прямоугольник.