Олимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, I тур регионального этапа

Назовем четырехзначное число $x$ забавным, если каждую его цифру можно увеличить или уменьшить на 1 (при этом цифру 9 можно только уменьшать, а 0 — только увеличивать) так, чтобы в результате получилось число, делящееся на $x$.
а) Найдите два забавных числа.
б) Найдите три забавных числа.
в) Существует ли четыре забавных числа? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Существуют четыре забавных числа: 1111, 1091, 1109, 1089.
Решение. Покажем, что других забавных чисел нет. Заметим, что получившееся после изменения цифр число $y$ не меньше, чем $x$, и не равно $x$, но его первая цифра может быть больше первой цифры числа $x$ только на 1. Такое, как легко видеть, возможно только если число $x$ начиналось на 1 и $y = 2x$. При этом число $y$ должно начинаться на 2, то есть при умножении $x$ на 2 «в столбик» переноса из разряда сотен в разряд тысяч не было.
Перебирая цифры от 0 до 9, находим, что если при умножении x на 2 «в столбик» в данный разряд нет переноса, то в нем могла стоять только 1 (которую затем увеличили на 1) или 9 (которую затем уменьшили на 1), а если перенос был, то только 0 (который затем увеличили на 1) или 8 (которую затем уменьшили на 1). Поэтому число x могло оканчиваться на 1 или 9, а в разряде десятков у него в первом случае могли быть 1 или 9, а во втором случае — 0 или 8. Содержимое разряда сотен в каждом из четырех получившихся случаев определяется однозначно, что и даёт четыре ответа.