Олимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, II тур регионального этапа

1000 различных положительных чисел записаны в ряд в порядке возрастания. Вася разбил эти числа на 500 пар соседних и нашел суммы чисел во всех парах. Петя разбил эти же числа на 500 пар таким образом, что между числами в каждой паре стоит ровно три других числа, и тоже нашел суммы чисел во всех парах. Докажите, что произведение сумм, найденных Петей, больше, чем произведение сумм, найденных Васей. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Лемма. Пусть $a < d$, а $b < c$. Тогда $(a+b)(c+d) < (a+c)(b+d)$.
Доказательство. $(a+c)(b+d) - (a+b)(c+d) = ab+cd-ac-bd = (a-d)(b-c) > 0$.
Решение задачи. Разобьем всю тысячу чисел на 125 восьмёрок из идущих подряд чисел. Возьмем первую восьмерку: $a_1 < \dots < a_8$. У Васи она даст суммы $a_1+a_2$, $a_3+a_4$, $a_5+a_6$, $a_7+a_8$, у Пети — суммы $a_1+a_5$, $a_2+a_6$, $a_3+a_7$, $a_4+a_8$. По лемме $(a_1+a_2)(a_5+a_6) < (a_1+a_5)(a_2+a_6)$ и $(a_3+a_4)(a_7+a_8) < (a_3+a_7)(a_4+a_8)$. Осталось проделать то же самое для остальных 124 восьмерок и перемножить полученные неравенства.
Замечание. Тот использованный при доказательстве леммы факт, что если $a < d$ и $b < c$, то $ab+cd > ac+bd$, достаточно широко известен под названием транснеравенство.