Олимпиада имени Леонарда Эйлера2008-2009 учебный год, II тур заключительного этапа

Можно ли вместо звёздочек вставить в выражение НОК(*,*,*) $-$ НОК(*,*,*) $=$ 2009 в некотором порядке шесть последовательных натуральных чисел так, чтобы равенство стало верным? ( Р. Женодаров )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел делится на каждое из них и, следовательно, на каждый их делитель. Значит, если среди чисел, от которых находят НОК, есть чётное, то НОК тоже будет чётным. Разность двух чётных чисел — число чётное, а 2009 — нечётное. Значит, если такие шесть последовательных натуральных чисел существуют, то все чётные числа среди них должны быть в одном НОКе. Среди шести последовательных натуральных чисел три чётных и три нечётных, значит, один НОК будет находится от трёх последовательных чётных чисел, а другой — от трёх последовательных нечётных чисел. Но среди трёх последовательных как четных так и нечётных чисел есть кратное трём. Но тогда оба НОКа кратны трём, и их разность делится на 3. Но 2009 на 3 не делится. Значит, таких шести последовательных натуральных чисел не существует.