Олимпиада имени Леонарда Эйлера2013-2014 учебный год, II тур заключительного этапа

Петя и Вася одновременно ввели в свои калькуляторы одно и то же не равное 0 целое число. После этого каждую минуту Петя либо прибавлял к своему числу 10, либо умножал его на 2014; одновременно Вася в первом случае вычитал из своего числа 10, а во втором — делил его на 2014. Могло ли оказаться, что через некоторое время числа у Пети и Васи снова стали равными? ( И. Богданов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Да, так могло оказаться.
Решение. Допустим, последним действием перед тем, как числа снова стали равными, Петя умножал на 2014, а Вася делил. Тогда перед этим Петино и Васино числа были отрицательными, и модуль Васиного числа было в $2014^2$ раз больше модуля Петиного. Пусть эти два числа были получены из одного и того же исходного числа $n$ повторенной $k $ раз операцией «Петя прибавляет 10, Вася вычитает 10». Это означает, что $n -10k = 20142(n+10k) \Leftrightarrow 10 \cdot (2014^2+1)k = (1 - 2014^2)n$. Полагая, например, $n = -10 \cdot (2014^2+1) $, получаем, что, начав с такого числа $n$, Петя и Вася могли снова уравнять свои числа, совершив сначала $2014^2 -1$ операций «Петя прибавляет 10, Вася вычитает 10», а потом одну операцию «Петя умножает на 2014, Вася делит на 2014».
Замечание. Есть и другие решения.