Олимпиада имени Леонарда Эйлера2009-2010 учебный год, I тур заключительного этапа

Занумеруем все простые числа в порядке возрастания: $p_1 = 2, p_2 = 3, \dots $. Может ли среднее арифметическое $(p_1+ \dots +p_n)/n$ при каком-нибудь $n \geq 2$ быть простым числом? ( С. Волчёнков )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет.
Решение. Пусть $(p_1+ \dots +p_n)/n = q \Leftrightarrow p_1+ \dots +p_n = nq (*)$, где $q$ — простое число. Очевидно, если $n > 1$, то $q > 2$. Поэтому при чётном $n$ левая часть равенства $(*)$ нечётна, а правая — чётна, при нечётном $n$ — наоборот. Следовательно, такое равенство невозможно.
Замечание. Фактически мы доказали более сильное утверждение: среднее арифметическое не может быть никаким нечетным числом.