V математическая олимпиада «Шелковый путь», 2006 год

Найдите все функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, удовлетворяющие равенству $f(x^2 + xy + f(y)) = (f(x))^2 + xf(y) + y$ для всех $x, y \in \mathbb{R}$. ( К. Жубаев )

Комментарий/решение

Ответ: $f(x) = x, \forall x \in \mathbb {R}$

Пусть $P(x;y)$ означает это равенство и $f(0) = C.$

$P(0;x):$ $f(f(x)) = x + C^2, (*)$

$(*): x \Rightarrow 0, f(C) = C^2, (**)$

Если для каких-то $a,b \in \mathbb{R}, f(a) = f(b) \Rightarrow f(f(a)) = f(f(b))$

пользуясь $(*)$ получаем что $a = b, $ следовательно $f - $иньективна$.$

$P(x;0):$ $f(x^2 + C) = f(x)^2 + Cx, (1)$

$P(-x;0):$ $f(x^2 + C) = f(-x)^2 - Cx, (2)$

$(1) + (2): f(-x)^2 = f(x)^2 + 2Cx, (3)$

$P(-x;x) + (*):$

$f(f(x)) = f(-x)^2 - xf(x) + x$

$f(-x)^2 = C^2 + xf(x), (4)$

$(3) + (4):$ $C^2 + xf(x) = f(x)^2 + 2Cx, (5)$

$(5) + (**) : x \Rightarrow C, C^4 + C^2 = C^3 \Rightarrow C^2(C^2 - C + 1) = 0$

Уравнение $C^2 - C + 1 = 0$ не имеет решений в действительных числах.

Следовательно $C = 0.$ Тогда $(5)$ имеет вид :$xf(x) = f(x)^2.$

$f(x)(f(x) - x) = 0 :$

Так как $f - $иньективна, то она обнуляется только в точке $0:$

Если $x \ne 0 \Leftrightarrow f(x) \ne 0 \Rightarrow f(x) = x, \forall x \in \mathbb {R/0}$

Еще мы знаем что $f(0) = 0.$ Из двух этих утверждений получаем что,

$f(x) = x, \forall x \in \mathbb {R}$

Проверкой убеждаемся что она подходит.