7-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2007 жыл

Тақтаға $2$, $3$, $5$, $\ldots$, $2003$ сандары, яғни ${[2; 2007]}$ аралығындағы барлық жай сандар жазылған. Біз $a,b$ сандарын $\sqrt{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}$ санынан аспайтын жай санмен ауыстыруды сирету амалы деп атаймыз. Алдымен оқушы $q$ санын өшіреді, мұнда $2 < q < 2003$; сонан соң бір сан қалғанға шейін сирету амалын қалған сандарға бірнеше рет қолданады. Соңында шыққан санның ең үлкен мүмкін мәнін және ең кіші мүмкін мәнін тап. Бұл мәндер алғаш өшірілген $q$ санына қалай тәуелді? ( Е. Байсалов )