VI математическая олимпиада «Шелковый путь», 2007 год

Найдите максимальное значение вещественного числа $M$, при котором для любых положительных вещественных чисел $a,b,c$ выполняется неравенство $$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \ge M (|a-b|^3 + |b - c|^3 + |c - a|^3)$$ ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

$a\ge b\ge c$ деп алсақ, жалпылыққа әсер етпейді.

$b\to 0^+, c\to 0^+$ жағдайында $\frac{1}{2}\ge M$ болады.

Енді $M=\frac{1}{2}$ үшін теңсіздікті дәлелдейік.

$a^3+b^3+c^3-3abc\ge \frac{1}{2} ((a-b)^3+(b-c)^3+(a-c)^3)$

$a=b+u, b=c+v. \ \ u,v\ge 0$ деп алайық. Онда

$2(a^3+b^3+c^3-3abc)\ge (a-b)^3+(b-c)^3+(a-c)^3$

$(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2)\ge (a-b)^3+(b-c)^3+(a-c)^3$

$(u+2v+3c)(u^2+v^2+(u+v)^2)\ge u^3+v^3+(u+v)^3$

$6 c u^2 + 6 c u v + 6 c v^2 + 3 u^2 v + 3 u v^2 + 2 v^3\ge 0$