Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 9 класс

Для неотрицательных вещественных чисел $a$, $b$, $c$ и положительных вещественных чисел $x, y, z$, удовлетворяющих тождеству $$ a+b+c=x+y+z,$$ докажите неравенство: $\dfrac{{a^3 }}{{x^2 }} + \dfrac{{b^3 }}{{y^2 }} + \dfrac{{c^3 }}{{z^2 }} \geq a + b + c.$

Комментарий/решение

Мы можем поменять$\frac{a^3}{x^2}=a^2/x^2/a$

, имея неравенство $a^2/x^2/a+b^2/y^2/b+c^2/z^2/c \geq (a+b+c)^2/(x^2/a+y^2/b+c^2/z)$Используя неравенство «Cauchy-Schwarz inequality in Engel form”). Возьмём нижняя часть $x^2/a+y^2/b+z^2/c \geq (x+y+z)^2/a+b+c$ . Так как имеем $x+y+z=a+b+c$, сокращаются и останется

$x^2/a+y^2/b+z^2/c\geq a+b+c $ или $( x+y+z)$

Дальше получим требоваемое

используя теорему cauchy-scharwz inequality in Engel form или Arthur Engel’s Minima Principle.

AM-GM бойынша:

$\frac{a^3}{x^2}+x+x\ge 3a$

$\frac{b^3}{y^2}+y+y\ge 3b$

$\frac{c^3}{z^2}+z+z\ge 3c$

осы үш теңсіздікті қосамыз.