9-шы «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2009 жыл

Кез келген $p$ жай саны үшін саны $({x^2} + p{t^2})({y^2} + p{t^2})({z^2} + p{t^2})$ толық квадрат болатындай шексіз көп $(x, y, z, t)$ өзара тең емес бүтін сандардың төрттіктері табылатынын дәлелдеңіз. ( Д. Елиусизов, Е. Байсалов )

Комментарий/решение

Заметим, что уравнение $m^2-ps^2=1$ (Ур. Пелля) имеет бесконечно много решений в натуральных числах $(m,s).$

Пусть $(a,n)-$является решение, при этом $a>3.$ Легко понять, что таких решений бесконечно много.

Пусть $t=n ,$ $x=a+1 ,$ $y=a-1,$ $z=a^2-1.$ Тогда

$$(x^2+pn^2)(y^2+pt^2)(z^2+pt^2)=(2a^2+2a)(2a^2-2a)(a^4-a^2)=(2a^2(a^2-1))^2$$

Осталось показать, что $x,y,z\ne t=n$

$1)$Заметим, что $z=a^2-1=pn^2>n.$

$2)$ Если $n=y=a-1$, то

$a^2-1=pn^2=p(a-1)^2\implies a+1=p(a-1)\ge 2(a-1)>a+1$, что невозможно.

$3)$ Если $n=x=a+1$, то

$a^2-1=pn^2=p(a+1)^2\implies a-1=p(a+1)\ge 2(a+1)>a-1$, что невозможно. $\quad\square$