XII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2013 год

Окружность с центром $I$, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$ и $AC$ в точках $A_1$ и $B_1$, соответственно. На лучах $A_1I$ и $B_1I$, соответственно, взяты точки $A_2$ и $B_2$ такие, что $IA_2=IB_2=R$, где $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что
a) $AA_2 = BB_2 = OI$, где $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$;
b) прямые $AA_2$ и $BB_2$ пересекаются на описанной окружности треугольника $ABC$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

a) Пусть окружность $ ABC $ равна $ w $ и $ AI \cap w = D $. Тогда $ OD \perp CB, \ A_ {2} I \perp CB $ и так как $ IA_ {2} = R = OD $ мы имеем $ A_ {2} O // ID $, поэтому $ A_ {2} O // AI $. Поскольку $ OA = R = IA_ {2} $, мы имеем $ AIA_ {2} O $ равнобедренную трапецию и так $ OI = AA_ {2} $. Аналогично $ OI = BB_ {2} $

b) $ BB_2 \cap AA_ {2} = E $. Тогда $ \angle EAO = \angle A_ {2} IO = 180 - (\angle OIB + BIA_ {1})$

$ = 90+ \frac {\angle B} {2} - \angle OIB = 90 + \angle IBA- \angle OIB = 90- \angle ABE \rightarrow \angle EAO = 90 - \angle ABB_ {2} $, но если $ BB_ {2} \cap w = F $ то $ \angle FAO = 90- \angle ABB_ {2} = \angle EAO \rightarrow F = E $ QED