Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2014 год


Окружности $\omega$ и $\Omega$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Пусть $M$ — середина дуги $AB$ окружности $\omega$ ($M$ лежит внутри $\Omega$). Хорда $MP$ окружности $\omega$ пересекает $\Omega$ в точке $Q$ ($Q$ лежит внутри $\omega$). Пусть $\ell_P$ — касательная к окружности $\omega$ в точке $P$, а $\ell_Q$ — касательная к окружности $\Omega$ в точке $Q$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного при пересечении прямых $\ell_P$, $\ell_Q$ и $AB$, касается $\Omega$. ( М. Кунгожин, И. Богданов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Введем обозначения: $X=AB\cap \ell_P$, $Y=AB\cap \ell_Q$ и $Z=\ell_P\cap \ell_Q$. Без ограничения общности можно считать, что $AX < BX$. Пусть $F=MP\cap AB$.

Обозначим через $R$ вторую точку пересечения $PQ$ и $\Omega$; через $S$ такую точку $\Omega$, что $SR\parallel AB$; наконец, через $T$ такую точку $\Omega$, что $RT\parallel \ell_P$. Поскольку $M$ является серединой дуги $AB$, касательная $\ell_M$ в точке $M$ к $\omega$ параллельна $AB$, поэтому $\angle(\ell, PM)=\angle (PM,\ell_P)$. Отсюда имеем $\angle PRT=\angle MPX=\angle PFX=\angle PRS$. Таким образом, $Q$ есть середина дуги $TQS$ окружности $\Omega$, следовательно, $ST\parallel \ell_Q$. Соответствующие стороны треугольников $RST$ и $XYZ$ параллельны и существует гомотетия $h$, отображающая $RST$ в $XYZ$.
Пусть $D$ — вторая точка пересечения $XR$ и $\Omega$. Утверждается, что $D$ есть центр гомотетии $h$. Поскольку $D\in\Omega$, это означает, что окружности, описанные около треугольников $RST$ и $XYZ$, касаются. Таким образом, остается доказать наше утверждение. Для этого достаточно показать, что $D\in SY$.
Из $\angle PFX=\angle XPF$ находим $XF^2=XP^2=XA\cdot XB=XD\cdot XR$. Следовательно, $\dfrac{XF}{XD}=\dfrac{XR}{XF}$, а значит, треугольники $XDF$ и $XFR$ подобны. Поэтому $\angle DFX=\angle XRF=\angle DRQ=\angle DQY$ и точки $D$, $Y$, $Q$ и $F$ лежат на одной окружности. Это означает, что $\angle YDQ=\angle YFQ=\angle SRQ=180^\circ-\angle SDQ$, откуда следует, что точки $Y$, $D$ и $S$ лежат на одной прямой, причем $D$ находится между $S$ и $Y$.