Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2013 год

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega$. На продолжении стороны $AC$ взяли точку $P$ так, что прямые $PB$ и $PD$ касаются $\omega$. Касательная к окружности, проведенная в точке $C$, пересекает прямую $PD$ в точке $Q$, а прямую $AD$ — в точке $R$. Обозначим через $E$ вторую точку пересечения прямой $AQ$ с окружностью $\omega$. Докажите, что точки $B$, $E$, $R$ лежат на одной прямой.

Комментарий/решение

Пусть пересечние $BR$ и ω будет $E_1$ и пересечение $AR$ и $CE_1$ будет $T$, проецировав гармонический четырехугольник $ABCD$ через точку $E_1$, получаем $(A,D; S, R)=-1$, далее проецируя через точку $C$ получаем, что $(C,A;D,E_1) =-1$, а так как $AQ$ симедиана, то $E$ =$E_1$

Пусть пересечение касательных из точек $A$ и $C$ это $S$. Тогда так как $ABCD$ гармонический четырехугольник, точки $B, D, S$ лежат на одной прямой. Применим Теорему Паскаля на шестиугольник $AAEBDD$, тогда точки $S, Q$ и пересечение прямых $AD$ и $BE$ лежат на одной прямой. Так как точки $Q, S$ лежат на касательной из точки $C$, значит $AD$ и $BE$ пересекаются на касательной из точки $C$. Легко понять что это и есть точка $R$. Отсюда $B, E, R$ лежат на одной прямой.