Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2011 год

Определите все функции $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$, где $\mathbf{R}$ — множество всех действительных чисел, удовлетворяющие следующим двум условиям:
(1) Существует действительное число $M$ такое, что $f(x) < M$ для любого действительного числа $x$.
(2) Для любых действительных чисел $x,y$ выполнено равенство $$ f(xf(y)) + y f(x) = xf(y) + f(xy). $$

Комментарий/решение

Ответ:$1)f(x)\equiv 0,\quad 2)f(x)=0,x\ge0$ и $f(x)=2x,x<0$

Пусть $P(x,y):\quad f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy)$

$P(0,x):\quad xf(0)=f(0)\implies f(0)=0$

$P(x,1):\quad f(xf(1))=xf(1)$, если $f(1)\ne 0$ , то $f(x)=f(\frac{x}{f(1)}f(1))=\frac{x}{f(1)}f(1)=x$, что противоречить $(1)$.

Значит $f(1)=0$

$P(1,x):\quad f(f(x))=2f(x) \quad(\color{red}1)$

Из $(\color{red}1)\implies f_{n+1}(x)=2^{n}f(x),\forall n\in\mathbb N$

$[f_n(x)=f(f(...(f(x)...)$, тоесть функция $f$ взятая $n$ - раз$]$

Откуда если $f(x)>0$ для некоторого $x\in\mathbb R$, то $f(x)$ - неог. функция, что противоречить $(1)$.

Значит $f(x)\le 0$. Заметим, что $f(x)\equiv 0$, удовлетворяет условиям.

Далее пусть $f(k)<0$, для некоторого $k\in\mathbb R$

Если $f(x_0)=0$ , то $P(k,x_0):\quad x_0f(k)=f(x_0k)\implies x_0\ge 0$

Значит $f(x)<0$, для $\forall x<0\quad(\color{red} 2)$

Просуммируем два равенства $P(x,\frac 1 x)$ и $P(\frac 1 x, x)$:$\quad 0=f(\frac 1 x f(x))+f(xf(\frac 1 x))\le 0+0$

Значит $f(xf(\frac 1 x))=f(\frac 1 x f(x))=0,\forall x\in\mathbb R$

Заметим, что для $\forall x>0:y=\dfrac 1 x f(x)\le 0$ и $f(y)=0$, откуда из $(\color{red}2)\implies y=0, \forall x>0$

Значит $f(x)=0,\forall x\ge 0$

$\forall x>0, P(-1,x):\quad xf(-1)=f(-x)\quad(\color{red}3)$

Из $(\color{red} 2) \implies f(-1)<0$, так как $-1<0$

Подставим в $(\color{red} 3)\quad x=-f(-1)\implies f(f(-1))=(-f(-1))f(-1)$

Из $(\color{red}1)\implies f(f(-1))=2f(-1)$

Откуда $2f(-1)=(-f(-1))f(-1)\implies f(-1)=-2$

Тогда $(\color{red}3)\iff f(-x)=-2x,\forall x>0$

Замечание: Так как для $\forall x\in\mathbb R,x\ne 0$ : $f(\frac 1 x f(x))=0$, то

$$P(x,\frac 1 x f(x)):\quad\frac{f(x)^2}{x}=f(f(x))=2f(x)$$

Значит $f(x)=0$ либо $f(x)=2x$, для $\forall x\in\mathbb R$