Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2009 год

Пусть ${{a}_{1}},\ {{a}_{2}},\ {{a}_{3}},\ {{a}_{4}},\ {{a}_{5}}$ — действительные числа, удовлетворяющие следующим равенствам: $$ \frac{{{a}_{1}}}{{{k}^{2}}+1}+\frac{{{a}_{2}}}{{{k}^{2}}+2}+\frac{{{a}_{3}}}{{{k}^{2}}+3}+ \frac{{{a}_{4}}}{{{k}^{2}}+4}+\frac{{{a}_{5}}}{{{k}^{2}}+5}=\frac{1}{{{k}^{2}}} $$ при $k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$. Найдите значение выражения \[\frac{{{a_1}}}{{37}} + \frac{{{a_2}}}{{38}} + \frac{{{a_3}}}{{39}} + \frac{{{a_4}}}{{40}} + \frac{{{a_5}}}{{41}}.\] (Представьте ответ в виде обыкновенной дроби).

Комментарий/решение

$$\frac {a_{1}}{37} +\frac {a_{2}}{38} +\frac {a_{3}}{39} +\frac {a_{4}}{40} +\frac {a_{5}}{41} = $$ $$=\frac {a_{1}}{6^2+1} +\frac {a_{2}}{6^2+2} +\frac {a_{3}}{6^2+3} +\frac {a_{4}}{6^2+4} +\frac {a_{5}}{6^2+5} =\frac {1}{6^2}=\frac {1}{36} $$

Вы уверены что для $k=6$ выражение верно?

Подставляя $k=1,2,3,4,5$ получаем систему уравнений , для удобства $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ есть $a,b,c,d,t$

$\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{3}+\dfrac{c}{4}+\dfrac{d}{5}+\dfrac{t}{6}=1$

$\dfrac{a}{5}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{c}{7}+\dfrac{d}{8}+\dfrac{t}{9}=\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{a}{10}+\dfrac{b}{11}+\dfrac{c}{12}+\dfrac{d}{13}+\dfrac{t}{14}=\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{a}{17}+\dfrac{b}{18}+\dfrac{c}{19}+\dfrac{d}{20}+\dfrac{t}{21}=\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{a}{26}+\dfrac{b}{27}+\dfrac{c}{28}+\dfrac{d}{29}+\dfrac{t}{30}=\dfrac{1}{25}$

Снова для удобства заменим

$a=10x, b=18y, c=28z, d=40n, t=54m$ тогда вычитывая с $1$ уравнения $2,3,4,5$ и приравнивая соответственно к $2,3,4,5$ (так как после сокращений выражения справа будут равняться снова этим же числам) получаем

$5m+4n+3z+2y+x=0$

$12870m+9856n+7007z+4368y+2002x=0$

$72675m+54264n+37485z+22610y+9975x=0$

$20358m+14976n+10179z+6032y+2610x=0$

откуда

$x=\dfrac{1105m}{441}, \ \ n=-\dfrac{1885m}{441}, \ \ y=-\dfrac{297m}{49}, \ \ z=\dfrac{152m}{21}$ или $a=\dfrac{11050m}{441}, \ \ b=-\dfrac{5346m}{49}, \ \ c=\dfrac{4256m}{21}, \ \ d=-\dfrac{75400m}{441}$

Подставляя в первое уравнение

$\dfrac{11050m}{2 \cdot 441}-\dfrac{5346m}{49 \cdot 3}+\dfrac{4256m}{21 \cdot 4}-\dfrac{75400m}{441 \cdot 5}+9m=1$

$m=\dfrac{49}{80}$

Значит $(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5})=(a,b,c,d,t)=(\dfrac{1105}{72},-\dfrac{2673}{40},\dfrac{1862}{15},-\dfrac{1885}{18},\dfrac{1323}{40})$

Подставляя в нужное выражение получаем ответ $\dfrac{187465}{6744582}$

адская задача

буквально эта задача: