Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2007 год

Пусть $S$ является множеством девяти различных целых чисел, значения простых делителей которых не превосходят 3. Докажите, что $S$ содержит три различных целых числа, произведение которых является точным кубом.

Комментарий/решение

Любое число множества $S$ можно представить в виде $2^n3^m;n,m\in N$, ведь простые числа, не превосходящие $3$, это $2$ и $3$ . Число $n$ можно представить в виде $n=3k;n=3k+1;n=3k+2;$ в зависимости от остатка степени при делении на $3$. Аналогично, число $m$ можно представить в виде $m=3a;m=3a+1;m=3a+2;$. Рассмотрим всевозможные xисла множества $S$.

$$2^{3k}3^{3a};2^{3k}3^{3a+1};2^{3k}3^{3a+2};$$

$$2^{3k+1}3^{3a};2^{3k+1}3^{3a+1};2^{3k}3^{3a+2};$$

$$2^{3k+2}3^{3a};2^{3k+2}3^{3a+1};2^{3k+2}3^{3a+2};$$

Рассмотрим несколько ситуаций.

1)Пусть в множестве $S$ имеется три и более чисел одного вида.Причем здесь не важно ,равны ли сами степени, важно ,что сумма степеней поделится на 3. Тогда их произведение точный куб:

$2^n3^m*2^n3^m*2^n3^m=(2^n3^m)^3$

2)Пусть все виды различны. Тогда, двигаясь по вертикали таблицы( смотрите выше) , по горизонтали или диагонали, легко найти удовлетворяющую тройку

Например $2^{3k}3^{3a}*2^{3k+1}3^{3a+1}*2^{3k+2}3^{3a+2}=(2^{3k+1}3^{3a+1})^3$- точный куб

3)Осталось рассмотреть ситуацию, когда два числа одного и того же вида. Причем не обязательно, что такая пара одна. Рассмотрим максимальный случай- 4 видовые пары. Значит, остается 5 видов.Но 5 чисел в таблице $3$ на $3$ всегда можно расположить так, что найдутся три числа , имеющие разные строки и столбцы, то есть остатки показателя степени при делении на $3$. А если нет, то какие то три числа выстраиваются в диагональ или линию (случай 2). Доказательство завершено