Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2006 жыл

Әртүрлі $A$ және $B$ нүктелері $O$ шеңберінде жатсын және $P$ нүктесі $AB$ кесіндісінің ортасы болсын. $O_1$ шеңбері $AB$ түзуін $P$ нүктесінде және $O$ шенберін жанасын. $A$ нүктесі арқылы өтетін $AB$ түзуінен өзге $l$ түзуі $O_1$ шеңберіне жанама болсын. $O$ шенбері мен $l$ түзулерінің қиылысуы — $C$ нүктесі. $BC$ кесіндісінің ортасы $Q$ нүктесі, ал $O_2$ шеңбері $BC$ түзуін $Q$ нүктесінде және $AC$ кесіндісін жанасын. $O_2$ шеңбері $O$ шеңберін жанайтындығын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть $\omega$ окружность с центром $O$ и $\omega_{1}$ вторая с радиусом $r$ , тогда $J,G \in OQ \cap \omega$ где $J$ лежит в полуплоскости $C$, покажем что $QO_{2}=GO_{2}$ это докажет касания окружности.

Пусть $D$ точка касания $\omega, \omega_{1}$ и $\angle CAD=x$, $\angle BAD = y$ и $O, O_{2}, Q$ лежат на одной прямой так как $BQ=CQ$ и $CO_{2}$ биссектриса $\angle ACB$

так же $A,O_{1},J$ лежат на одной прямой, так как $CJ=BJ$ тогда

$GJ = \dfrac{BC}{2 \sin(x+y)}$ и $QO_{2} = \dfrac{BC}{2} \cdot ctg (y)$ и $QJ=\dfrac{BC}{2} \cdot tg(\dfrac{x+y}{2})$

откуда $GO_{2} = GJ-QJ-QO_{2} = \dfrac{BC}{2} \cdot (ctg(\dfrac{x+y}{2})-ctg(y)) $ но так как $r \cdot ctg( \dfrac{x+y}{2}) = 2r \cdot ctg(y)$ откуда

$GO_{2}=QO_{2}$