Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2005 год


Пусть $a$, $b$ и $c$ — положительные действительные числа такие, что $abc=8$. Докажите, что $$ \frac{{{a}^{2}}}{\sqrt{(1+{{a}^{3}})(1+{{b}^{3}})}}+\frac{{{b}^{2}}}{\sqrt{(1+{{b}^{3}})(1+{{c}^{3}})}}+\frac{{{c}^{2}}}{\sqrt{(1+{{c}^{3}})(1+{{a}^{3}})}}\geq \frac{4}{3}. $$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   0
2021-04-14 10:20:38.0 #

$$\frac{a^{2}+2}{2}\geq \sqrt{a^{3}+1}$$

$$proof: X^{3}+1 = (X+1)(X^{2}-X+1) \rightarrow AM \geq GM \rightarrow \frac{X^{2}+2}{2}\geq \sqrt{X^{3}+1}$$

$(!) \sum \frac{4a^{2}}{(a^{2}+2)(b^{^{2}}+2)} \geq \frac{4}{3} = \sum \frac{a^{2}}{(a^{2}+2)(b^{^{2}}+2)} \geq \frac{1}{3}$

$summation:(!)2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}\geq a^{2}b^{2}c^{2}+abc=72$

$$AM\geq GM \Rightarrow \sum 2a^2\geq 24\rightleftharpoons \sum a^{2}b^{2}\geq 48$$

$a=b=c=2 \Rightarrow \sum = \frac{4}{3}$