Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2003 год

Пусть $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ являются действительными числами, такими что многочлен $p(x) = x^8 - 4x^7 + 7x^6 + ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f$ разлагается на восемь линейных сомножителей $x - x_i$, где $x_i > 0$ при всех $i = 1, 2, \dots, 8$. Найдите всевозможные значения числа $f$.

Комментарий/решение

Из теоремы Виета

$x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}x_{6}x_{7}x_{8}=f$

$B=\sum\limits_{i=1}^8 x_{i} = 4 $

$A=\sum\limits_{i,j=1}^8 x_{i}x_{j \ne i} = 7$

Тогда возведя в квадрат $A^2=\sum\limits_{i=1}^8 x_{i}^2+2B $ или $\sum\limits_{i=1}^8 x_{i}^2 = 16-14=2$

Оценив через ср Ар и ср Геом $\sum\limits_{i=1}^8 x_{i}^2 \geq 8 \cdot \sqrt[8]{f^2}$ откуда $f \leq \dfrac{1}{256}$ или $0<f \leq \dfrac{1}{256}$

.

спасибо этой задаче и решению. благодаря ему, я неделю до области познакомился с теоремой виета для многочленов!!

Заметим, что $$\sum^8_{i=1} {x_i^2}=(\sum_{i=1}^8{x_i})^2-\sum_{1\leq i< j\leq 8}{2x_ix_j}=4^2-2×7=2$$

Тогда $$0=8×2-4^2=8(\sum_{i=1}^{8}{x_i^2})-(\sum_{i=1}^{8}{x_i})^2=\sum_{1\leq i<j\leq 8}^{8}(x_i-x_j)^2$$ откуда $x_i-x_j=0,\forall 0\leq i<j\leq 8\implies x_i=x_j\implies x_i=\frac 1 2\implies f=\frac 1{256}$