Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2002 год

Найдите все функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ такие, что
(i) $f(x) = 0$ для конечного числа значений $x$ (возможно, $f(x) \neq 0$ для всех $x$);
(ii) $f(x^4 + y) = x^3f(x) + f(f(y)).$

Комментарий/решение

Равенство будет верно при любых $x$ и $y$. А значит и при $x=0$.

$$f(0^4+y)=0^3f(0)+f(f(y))$$, или же $f(y)=f(f(y))$. Значит , $f(x)=x$ или же $f(x)=-x$ . Проверкой убеждаемся в том, что удовлетворяет условию только $f(x)=x$

Ваше решение не полное

Может найтись такой $x$ который нельзя записать в виде $f(y)$

Да и подставив $f(x)=-x$ выходит:

$-x^4-y=-x^4+y$

$P(x,y) \rightarrow (0,y) $

$f(y)=f(f(y))$ $(1)$

$P(x,y) \rightarrow (1,0)$

$f(0)=0$ $(2)$

$P(x,y) \rightarrow (x,0)$

$f(x^4)=x^3f(x)$ $(3)$

$$$$

Используя $(3)$ и $(1)$ на изначальном выражении дает$:$

$f(x^4+y)=f(x^4)+f(y)$

Допустим$:$

$a \ne 0$

$f(a)=0$

$P(x,y) \rightarrow \left(a^{\frac{1}{4}},a \right)$

$f(2a)=0$

$P(x,y) \rightarrow \left(a^{\frac{1}{4}},2a \right)$

$f(3a)=0$

Аналогично:

Для любого натурального $n:$

$f(an)=0 \Rightarrow \varnothing$ по $(i)$

Значит$:$

$f(a)=0$ только при $a=0$ $(4)$

$$$$

$P(x,y) \rightarrow (x, f(x^4)-x^4)$

$f(f(x^4)-x^4)=0$ по $(4)$ $\rightarrow f(x^4)=x^4$

По $(3):$

$x^3f(x)=x^4$

$x \ne 0$

$f(x)=x$

$x=0$

$(2)$ $\rightarrow f(0)=0$

$$$$

Ответ$:$ $f(x)=x$

Вопрос 1: Как с натуральных перенеслись в инъективность во всех действительных

Вопрос 2: Почему если для натуральных (целых) $f(k)=k$, то и для всех $x$ это верно?

Исправлено