Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1993 год

Найдите все натуральные $n$, при которых уравнение $x^n + (2 + x)^n + (2 - x)^n = 0 $ имеет целое решение.

Комментарий/решение

Ответ: $n=1$.

Проверим, будут ли целые корни при $n=1$. $$x^1 + (2 + x)^1 + (2 - x)^1 = 0$$ $$x+2+x+2-x=0\Rightarrow x=-4$$Действительно, получили целый корень. Пусть $n$ будет чётным числом. То есть $n$ можно представить в виде $n=2\cdot m,m=1,2,3,... $ Тогда получаем уравнение вида $$x^{2m} + (2 + x)^{2m} + (2 - x)^{2m} = 0$$Есть такая теорема, что сумма квадратов может равняться нулю тогда и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю. Получается, чтобы уравнение решилось, нужно одновременное выполнение трёх равенств: $x=0;2+x=0;2-x=0$. Этого не может быть, а значит, при чётном $n$ левая часть обязательно будет положительной, то есть строго больше нуля.

Теперь рассмотрим нечётные степени $n$. То есть степень теперь имеет вид $n=2m+1$.Тогда получаем уравнение вида $$x^{2m+1} + (2 + x)^{2m+1} + (2 - x)^{2m+1} = 0 (*)$$ Пусть $x \equiv 0 \pmod {3}$. Или же, более простым языком, $n$ имеет остаток $0$ при делении на 3. $$0^{2m+1}+2^{2m+1}+2^{2m+1} \equiv {2\cdot{2^{2m+1}}} \equiv {2^{2m+2}}\pmod {3} (**)$$ В средних школах не рассказывают про сравнения, поэтому поясню выражение $(**)$. Я хочу посмотреть остатки при делении на $3$ правой и левой части уравнения $(*)$. Естественно, правая часть имеет остаток $0$ при делении на $3$. Так как правая часть и есть ноль. Если выяснится, что правая и левая части уравнения имеют разные остатки, при этом и левая, и правая части-целые, можно сделать вывод, что такого не бывает. Или по-другому, что ЦЕЛЫХ корней нет.

Далее, замечаем, что при делении на $3$ есть только три варианта остатков: $0,1,2$. Далее они циклично повторяются. Причём для проверки на остаток нет разницы, подставить в уравнение $1,4$ или $7$. Потому что у них все равно остатки при делении на $3$ равны $1$. Вернемся к $(**)$. Проанализируем результат. $2^{2m+2}$ не может нацело (с остатком $0$) делиться на $3$, потому что все множители полученного числа- двойки, и среди них нет ни одной $3$, а $2$ и $3$-взаимнопростые.То есть получили противоречие- правая часть делится на $3$, левая-нет. Значит, $x \ne 0 \pmod {3}$

Рассмотрим случай $x \equiv 1 \pmod {3}$. Действуем аналогично.$$1^{2m+1}+3^{2m+1}+1^{2m+1}\equiv 1+0+1\equiv 2 \pmod {3} (***)$$ Здесь тоже получили противоречие.

Замечаем, что при нечётной степени $n=2m+1$, при $x\geq 2$, левая часть превысит $0$. Покажу это: Первое слагаемое при $x\geq 2$ будет положительным $x^{2m+1}>0$. Второе слагаемое тоже больше нуля строго. Третье же больше или равно нулю. Сумма положительная получается.

Замечаем, что при нечётной степени $n=2m+1$ и $x<-2$ левая часть будет отрицательной, то есть меньше 0. Это произойдёт потому, что каждое слагаемое будет отрицательным, а отрицательное число в нечётной степени отрицательно.

Осталось проверить возможность $x=-2,-1,0,1$. Ноль и единицу проверяли выше- не сошлось по остаткам

Но ведь $-1\equiv 1 \pmod {3}$- значит $x\ne -1$

Осталось доказать, что случай $x=-2$ приведёт к противоречию.

$$(-2)^{2m+1}+0^{2m+1}+4^{2m+1}\equiv 4^{2m+1}-2^{2m+1}\equiv 2^{4m+2}-2^{2m+1} \pmod {3} (****)$$ Проанализируем $(****)$. Вынесем за скобки общий множитель $$2^{4m+2}-2^{2m+1}=2^{2m+1}\cdot{(2^{2m+1}-1)}$$. Для любых целых $m$, получаем $2^{2m+1}\equiv 2\pmod {3}$. Отсюда $$(****):2\cdot{(2-1)}\equiv 2\pmod {3}$$

В заключение: получается, что $n=1$-единственное решение задачи.

$x^{2n}+(2+x)^{2n}+(2-x)^{2n}=0$

Поскольку:

$x^2 \geq 0$

Все числа равны нулю:

$2+x=2-x=x=0 \rightarrow \varnothing$

$(2+x)^n \equiv (2-x)^n \pmod{2} \rightarrow x=2y$

$$$$

$y^n+(1+y)^n+(1-y)^n=\dfrac{0}{2^n}$

$y^n+(1+y)^n+(1-y)^n=0$

$y^n+(1+y)^n+(1-y)^n \equiv 0 \pmod{y}$

$0+1^n+1^n \equiv 0 \pmod{y}$

Аналогично $x$:

$2 \mid y$

$y \mid 2$

$y=2,-2$

$(i) y=2$

$2^n+3^n=1 \rightarrow \varnothing$

$$$$

$(ii) y=-2$

$2^n+1=3^n$

$n=1$

Ответ: $n=1$

Неверно: $(2+x)^n$ сравнимо с $(2-x)^n$

Они сравнимы по моду 2, разве не так?

$$$$

Если вы не про это то я не понял вашего вопрос

Нет, это не так. Во-первых потому что вы скорее всего забыли, что вы рассматриваете нечетные n, тогда одна часть просто х, другая -х. Значит вы из воздуха без доказательства достали, что х четное

$(2+x)^n \equiv (2-x)^n \pmod{2}$

Что факт

Почему это факт?

Потому что:

$$$$

$2+x \equiv 2-x \pmod{2}$

$$$$

Значит:

$(2+x)^n+(2-x)^n \equiv 2(2-x)^n \equiv 0 \pmod{2}$

Из чего:

$x^n \equiv 0 \pmod{2}$

$$$$

Я считал что это слишком очевидно по этой причине решил и не доказывать

$$$$

Дам совет: попробуйте сами порешать задачу и только после этого судить решение других людей